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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais e Derivadas de Ordem Superior

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Exercício 10123456789

Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

A gente vai começar calculando ∂ f ∂ x , lembrando que quando fazemos essa derivada parcial, ela é em relação à x então tudo diferente de x é considerado como constante

x 3 + y 2 x 2 + y 2 '

Xiii como que eu faço essa derivada doida ai? Cara quando tivermos uma fração que não da pra tirar nem o numerador e o denominador, vamos usar a regra do quociente, ela é assim:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

Então nossa derivada fica

x 3 + y 2 ' * x 2 + y 2 - x 3 + y 2 * x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Parece um monstro de 7 cabeças né? Kkkkk mas relaxa que a gente vai fazer passo a passo disso ai e vai ficar mais tranquilo

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada

∂ x 3 + y 2 ∂ x

Como a gente já viu, o y vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale

∂ x 3 + y 2 ∂ x = 3 x 2

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada mais da direita

∂ x 2 + y 2 ∂ x

De novo, y   vale como constante porque estamos derivando em relação a x , então ficamos com

∂ x 2 + y 2 ∂ x = 2 x

Passo 4

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 2

Ajeitando pra ficar mais bonitinho temos isso aqui:

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

Agora, aplicando a distributiva, ficamos com:

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Podemos ajeitar mais um pouquinho!

∂ f ∂ x = 3 x 4 - 2 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

E o grand finale da nossa derivada parcial ∂ f ∂ x é essa belezura aqui:

⇒ ∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 5

Agora para derivada parcial ∂ f ∂ y , ela é em relação à y então tudo diferente de y é considerado como constante

Vamos utilizar a mesma regra do quociente! Teremos a mesma equação mas as nossas derivadas vão ser diferentes, porque agora é em relação a y , se liga nos próximos passos que vai fazer mais sentido!

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Passo 6

Vamos começar com a primeira derivada

∂ x 3 + y 2 ∂ y

Como a gente já viu, o x vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale

∂ x 3 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 7

Agora vamos calcular a derivada mais da direita

∂ x 2 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 8

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 y x 2 + y 2 2

Como temos 2 y nos dois termos da subtração podemos colocar ele em evidência, como se fosse o contrário da distributiva, assim ó:

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

Ó que beleza, podemos cortar os y 2 do numerador, ai vamos ficar com

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

Aqui no numerador ainda podemos embelezar mais ainda, colocando o x 2 em evidência, olha como a gente pode fazer isso

Como x 3 = x 2 * x e x 2 = 1 * x 2 , ficamos com

∂ f ∂ y = 2 y x 2 ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Então nosso resultado pode ser escrito assim:

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2