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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais e Derivadas de Ordem Superior

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Exercício 12345678910

Enunciado

Seja

f x , y = e sen ⁡ x + x 5 y + ln ⁡ 1 + y 2

Então ∂ 2 f ∂ x ∂ y é igual a:

a 2 y 1 + y 2

b 5 x 4

c 20 x 3 y

d e sen ⁡ x cos ⁡ x

e e sen ⁡ x cos ⁡ x + x 5 + 2 y 1 + y 2

Passo 1

Ooooopa, fala aii!

Essa questão Parace que vai ser chata, né?! Mas pelo menos é só derivar...

Queremos achar a derivada parcial mista dessa função f ( x , y ) .

Então vamos lá: vamos derivar primeiro em relação a x e depois em relação a y .

Passo 2

Começando pela derivada em relação a x (lembrando que tudo que não tem x é considerado constante)

Vamos ter que fazer a regra da cadeia, lembrando que ela é assim

( f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

A nossa função é

f x , y = e sen ⁡ x + x 5 y + ln ⁡ 1 + y 2

Entao em e s e n x temos

f x = e x                                         e               g x = s e n x

f ' g x = e s e n x                   e                   g ' x = cos ⁡ x

ENtao nossa derivada de e s e n x = cos ⁡ x   e s e n x

Temos, portanto, que nossa derivada em relação a   x fica:

∂ f ∂ x = cos ⁡ x e sen ⁡ x + 5 x 4 y

Passo 3

Agora vamos pegar essa derivada parcial em relação a x e derivar em relação a y (lembrando que tudo que não tem y é considerado constante)

∂ f ∂ x = cos ⁡ x e sen ⁡ x + 5 x 4 y

Agora derivando isso em relação a y , temos

∂ ∂ f ∂ x ∂ y = 5 x 4

O primeiro termo todinho morre, porque ele não tem y . E pronto, taí nossa resposta.

Resposta

Letra b