Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais e Derivadas de Ordem Superior

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Enunciado

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos continuar nossa jornada nas derivadas parciais!

Ele pede duas derivadas parciais, são elas

∂ f ∂ x   e   ∂ f ∂ y

A gente deriva a mesma função mas a primeira em relação a x

E a segunda em relação a y , sacou? Então vamos partir para essas derivadas!

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ f ∂ x , lembrando que tudo que não for x a gente trata como constante!!

f x , y = e x y   l n x 2 y

Puuuuts, que derivada grande, como que eu vou fazer ela? A gente vai relembrar da regra do produto, ela é assim ó:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

Então nossa derivada fica

∂ f ∂ x = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Passo 3

Vamos ver quem são essas derivadas! (lembrando que essas derivadas são em relação a x )

Começando por e x y '

Para fazer essa derivada temos que usar a regra da cadeia, a gente usa ela quando temos uma funão dentro da outra, ela é desse jeitão aqui

( f g x = f ' ( g x ) ⋅ g ' ( x )

E nesse caso quem é f e quem é g ?

f x = e x   e   g x = x y

Show, vamos achar as derivadas agora que ta mais tranquilo. Para f ( x ) , a gente vai fazer a derivada normalmente e depois, onde tiver x vamos colocar x y , que é a nossa g ( x )

f ' x = e x → f ' g x = e x y

E para g x

g x = x y → g ' x = 1 y

Então nossa derivada e x y '

e x y ' = e x y ⋅ 1 y

Passo 4

Agora para ln ⁡ x 2 y '

Também vamos fazer a regra da cadeia, onde

f x = ln ⁡ x e   g x = x 2 y

Então vamos derivar essas funções (lembrando de novo, por enquanto só em relação a x)

f ' x = 1 x → f ' g x = 1 x 2 y

Podemos ajeitar esse 1 x 2 y desse jeitinho aqui:

f ' x = 1 x 2 y = y x 2

Agora para g x = x 2 y

g ' x = 2 x y

Então nossa derivada ln ⁡ x 2 y ' é

ln ⁡ x 2 y ' = 2 x y ⋅ y x 2

Podemos simplificar cortando os y ' s e x , ficando com

ln ⁡ x 2 y ' = 2 x

Passo 5

Ufa! Achamos as derivadas, vamos voltar para nossa regra do produto

∂ f ∂ x = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Substituindo pelos valores que achamos, temos que

∂ f ∂ x = e x y ⋅ 1 y ⋅ ln ⁡ x 2 y + 2 x ⋅ e x y

Vamos pegar o fator comum e x y e coloca-lo em evidencia, ficando com

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

E essa é a nossa primeira derivada parcial

Passo 6

Para ∂ f ∂ y ,   vamos fazer a mesma coisa, mas agora derivando em relação a y , lembrando que tudo que não for y a gente trata como constante!!

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ y = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Passo 7

Começando pela primeira derivada, vamos seguir o mesmo passo da regra da cadeia, mas agora um pouquinho mais rapido, beleza? (lembrando que essas derivadas agora são em relação a y )

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

As derivadas são

f ' g x = e x y

g x = x y → g x = x ⋅ y - 1

Então, temos que

g ' x = - x ⋅ y - 2 → x y 2

e x y ' = e x y ⋅ - x y 2

Passo 8

Agora para ln ⁡ x 2 y '

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

f ' g x = y x 2

E para g ( x )

g x = x 2 y

Seguindo a mesma logica de x y , temos que

g ' x = - x 2 y 2

ln ⁡ x 2 y ' = y x 2 ⋅ - x 2 y 2

Simplificando isso, ficamos com:

ln ⁡ x 2 y ' = - 1 y

Passo 9

Ufa! Achamos as derivadas, vamos voltar para nossa regra do produto

∂ f ∂ y = e x y ' ⋅ ln ⁡ x 2 y + ln ⁡ x 2 y ' ⋅ e x y

Substituindo pelos valores que achamos, temos que

∂ f ∂ y = e x y ⋅ - x y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 y + - 1 y ⋅ e x y

Colocando - e x y   em evidencia, temos isso aqui:

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Resposta

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y