Determine as derivadas parciais em relação a e a , para a seguinte função:
Passo 1
Opa, tudo bem? Vamos continuar nossa jornada nas derivadas parciais!
Ele pede duas derivadas parciais, são elas
A gente deriva a mesma função mas a primeira em relação a
E a segunda em relação a , sacou? Então vamos partir para essas derivadas!
Passo 2
Vamos começar calculando , lembrando que tudo que não for a gente trata como constante!!
Puuuuts, que derivada grande, como que eu vou fazer ela? A gente vai relembrar da regra do produto, ela é assim ó:
Então nossa derivada fica
Passo 3
Vamos ver quem são essas derivadas! (lembrando que essas derivadas são em relação a )
Começando por
Para fazer essa derivada temos que usar a regra da cadeia, a gente usa ela quando temos uma funão dentro da outra, ela é desse jeitão aqui
E nesse caso quem é e quem é ?
Show, vamos achar as derivadas agora que ta mais tranquilo. Para , a gente vai fazer a derivada normalmente e depois, onde tiver vamos colocar , que é a nossa
E para
Então nossa derivada
Passo 4
Agora para
Também vamos fazer a regra da cadeia, onde
Então vamos derivar essas funções (lembrando de novo, por enquanto só em relação a x)
Podemos ajeitar esse desse jeitinho aqui:
Agora para
Então nossa derivada é
Podemos simplificar cortando os e , ficando com
Passo 5
Ufa! Achamos as derivadas, vamos voltar para nossa regra do produto
Substituindo pelos valores que achamos, temos que
Vamos pegar o fator comum e coloca-lo em evidencia, ficando com
E essa é a nossa primeira derivada parcial
Passo 6
Para vamos fazer a mesma coisa, mas agora derivando em relação a , lembrando que tudo que não for a gente trata como constante!!
Regra do produto:
Passo 7
Começando pela primeira derivada, vamos seguir o mesmo passo da regra da cadeia, mas agora um pouquinho mais rapido, beleza? (lembrando que essas derivadas agora são em relação a )
As derivadas são
Então, temos que
Passo 8
Agora para
E para
Seguindo a mesma logica de temos que
Simplificando isso, ficamos com:
Passo 9
Ufa! Achamos as derivadas, vamos voltar para nossa regra do produto
Substituindo pelos valores que achamos, temos que
Colocando em evidencia, temos isso aqui: