Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

Enunciado

A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa é calculada pela fórmula , onde é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de se (exatamente) e com erro possível de .

Além disso, determine o erro percentual no cálculo de .

Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de e o erro percentual desse mesmo . Vamos começar achando o erro de , para isso vamos achar seu diferencial em relação a :

Podemos trocar o valor de nessa fórmula já que ele é constante:

O seu diferencial vai ser:

Passando para direita:

Passo 2

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com , e vai ser o erro na conta. Assim:

Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

Assim vamos ter:

Multiplicando isso por , vamos ter:

Assim, aquele cara do meio é :

Ele disse o valor de , que vai ser , vamos passar isso para radianos:

Assim, temos:

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de , que é só ir multiplicando a função no valor de que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

Então precisamos achar o valor de no valor inicial de

Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

SejaQ x =b 0 + b 1 x - a +b 2 x - a 2 uma aproximação quadrática de f(x) quando x = a, com as seguintes propriedades: i) Q a = f ( a ) ii) Q ' a = f ' ( a ) iii) Q ' ' a = f ' ' ( a ) Determine os coe

O diâmetro de uma árvore era de 10 polegadas. No ano seguinte, a circunferência aumentou 2 polegadas. Qual foi a variação aproximada do diâmetro da árvore? E da área da seção transversal?

A quantidade de trabalho realizado pela principal câmara de bombeamento do coração, o ventrículo esquerdo, é dada pela equação W = P V + V δ v 2 2 g em que W é o trabalho por unidade de tempo, P é a p

Estime a porcentagem de erro admissível para medir o diâmetro D de uma esfera se o volume deve ser calculado corretamente dentro de 3%.

Quando o comprimento L do pêndulo de um relógio é mantido constante por meio do controle de sua temperatura, o período T do pêndulo depende da aceleração g da gravidade. O período variará um pouco à m