O lado de um quadrado mede aproximadamente , com erro possível de .
- Use diferenciais para estimar o erro na área calculada.
- Estime o erro percentual no lado e na área.
Passo 1
a)
O erro da área nada mais é do que a variação da área, ou seja, . Além disso, vimos na teoria que:
Então só precisamos achar o diferencial dessa função da área. Vamos escrever a área em função do lado :
Assim, derivando:
Passando para direita:
Passo 2
Pela aproximação por diferencial, sabemos que:
Logo:
Agora que temos o diferencial da área, e que vimos que ela vai ser o erro, vamos calcular no intervalo que ele deu. Ele disse que o erro do lado vai entre e então:
Multiplicando por para dar o diferencial de ali no meio, temos:
Ele deu o ponto inicial do lado, que vai ser , então:
Esse vai ser o erro da área.
Passo 3
b)
Vamos achar agora os erros percentuais. O erro percentual nada mais é que o erro relativo que vimos na teoria.
Primeiro o erro do lado, para isso temos que dividir por . Já vimos que ele quer esse erro percentual com , e:
Assim:
E vamos ter:
Colocando em porcentagem e substituindo por
Passo 4
Vamos agora para o erro percentual da área, primeiro temos que achar a área para :
E o erro percentual da área vai ficar:
Colocando isso em porcentagem e substituindo por :
E achamos os erros percentuais.
Resposta
a)
b)