Um certo gás é dissolvido em um líquido B contido em uma proveta. Na medida em que A difunde ele sofre reação química na forma A + B → L , até desaparecer completamente depois de penetrar a uma distância δ desde a interface gás/líquido. Considerando:

  1. a cinética de reação é de ordem zero com respeito a A;
  2. reação química lenta k V → 0 ;
  3. a concentração do gás A dissolvido é pequena se comparada ao do líquido B;
  4. o produto da reação L é altamente solúvel no líquido, o que leva a não influenciar na difusão do soluto A; obtenha expressões para:
  • A distribuição da concentração molar de A;
  • O fluxo global molar de A na interface gás/líquido;
  • A concentração média molar de A.

Passo 1

Precisamos calcular a concentração molar de C A em função de z … A equação será:

∂ C A ∂ t + ∂ N A ,   x ∂ x + ∂ N A ,   y ∂ y + ∂ N A ,   z ∂ z = R A "

Fazendo nossas considerações…

Como estamos trabalhando em regime permanente, então: ∂ C A ∂ t = 0 ;

O fluxo é radial e unidirecional, então: ∇ ⋅ N A = ∂ N A ,   z ∂ z ;

E considerando que a reação acontece dentro do poro do catalisador, temos que: R A " =   - k   v

Sendo assim nossa equação, fica:

∂ N A ,   z ∂ z =   - k   v

O fluxo total até a superfície do catalisador fica:

N A ,   z =   - C D A B d y A   d z + x A ( N A ,   z + N B ,   z )

N A ,   z =   - C D A B C ⋅ d C A   d z + C A C ( N A ,   z + N B ,   z )

N A ,   z =   - D A B ⋅ d C A   d z + C A C ( N A ,   z + N B ,   z )

Se a gente considerar que a concentração do reagente A, é muito pequena em relação ao reagente B no meio reacional, podemos desprezar a parte convectiva do fluxo molar, ficando com:

N A ,   z =   - D A B ⋅ d C A   d z

E substituindo isso lá na nossa primeira equação, vamos ter:

d d z - D A B ⋅ d C A   d z =   - k   v

d d z D A B ⋅ d C A   d z =   k   v

E sendo a pressão e temperatura constantes, nosso D A B , também vai ser constante, logo:

d d z d C A   d z =   k   v D A B

Chamando β = k   v D A B , teremos:

d d z d C A   d z =   β

Integrando isso aí, vamos ficar com:

∫ d   d C A   d z = β ∫ d z

d C A d z = β z + C 1

E integrando novamente:

∫ d C A d z = β   ∫ z d z + C 1   ∫ d z

Ficaremos então, com:

C A = β ⋅ z 2 2 + C 1 z + C 2

Passo 2

Agora é a hora de estabelecer nossas condições de contorno, pra que a gente descubra quem são C 1 e C 2

A nossa primeira condição de contorno, será na interface gás/líquido, onde:

z = 0   →   C A = C A 0

Temos então:

C A 0 = β ⋅ 0 + C 1 0 + C 2

Isso nos diz que:

C 2 = C A 0

E usando a segunda condição de contorno, que é quando o soluto é totalmente consumido, temos:

z = δ   →   C A = 0

Isso quer dizer que temos:

0 = β ⋅ δ 2 2 + C 1 ⋅ δ + C 2

Substituindo o C 2 , vamos ter:

0 = β ⋅ δ 2 2 + C 1 ⋅ δ + C A 0

O C 1 será então:

C 1 =   - 1 δ C A 0 + β δ 2 2

Agora substituindo C 1 e C 2 na equação que a gente tinha antes, ficaremos com:

C A = β ⋅ z 2 2 + z ⋅ - 1 δ C A 0 + β δ 2 2 + C A 0

Por fim, como estamos trabalhando com uma reação química lenta, então β → 0 , e rearranjando essa galera, a distribuição da concentração molar do reagente “A” será:

C A = C A 0 1 - z δ

Passo 3

Partiu encontrar o fluxo molar! Ele vai ser dado pela equação:

N A ,   z =   - D A B d C A d z

E se a gente voltar lá na equação:

C A = β ⋅ z 2 2 + z ⋅ - 1 δ C A 0 + β δ 2 2 + C A 0

E derivar ela em função de z , vamos ter:

d C A d z = β ⋅ z - 1 δ C A 0 + β δ 2 2

E como estamos buscando o fluxo na interface gás/líquido, z = 0 , temos:

d C A d z | z = 0 =   - 1 δ C A 0 + β δ 2 2

E substituindo isso na equação do fluxo, vamos ficar com:

N A ,   z | z = 0 =   D A B δ C A 0 + β δ 2 2

E como β → 0 , por ser uma reação lenta, temos que o fluxo molar será:

N A ,   z | z = 0 =   D A B ⋅ C A 0 δ

Passo 4

Só falta a gente encontrar a concentração média molar… Temos que:

C _ A = ∫ z = 0 z = δ C A d z ∫ z = 0 z = δ d z

Substituindo a nossa equação C A = β ⋅ z 2 2 + z ⋅ - 1 δ C A 0 + β δ 2 2 + C A 0 , vamos ter:

C _ A = ∫ z = 0 z = δ β ⋅ z 2 2 + z ⋅ - 1 δ C A 0 + β δ 2 2 + C A 0 d z ∫ z = 0 z = δ d z

Isso nos dá:

C _ A = 1 δ β ⋅ z 3 6 + z 2 2 δ ⋅ C A 0 + β δ 2 2 + C A 0 ⋅ z z = 0 z = δ

C _ A = 1 2 C A 0 - β δ 2 6

E como a gente já falou antes, β → 0 , logo a concentração média molar é:

C _ A = C A 0 2

Arrasamos! Foi grande, mas conseguimos!

Resposta

A distribuição da concentração molar do reagente “A”:

C A = C A 0 1 - z δ

O fluxo molar:

N A ,   z | z = 0 =   D A B ⋅ C A 0 δ

A concentração média molar:

C _ A = C A 0 2

Exercícios Resolvidos de Difusão com Reação Química

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