Ache a solução geral da equação seguinte:
Passo 1
Temos aqui uma EDO linear. Bom, para resolver essa EDO, precisamos deixar na nossa forminha de bolo de EDO linear que eu vou te lembrar aqui rapidinho:
Para isso precisamos deixar sozinho, então vamos dividir tudo por .
Cortando os que aparecem em cima e embaixo, temos que:
Show de bola. Conseguimos deixar com o formato de uma EDO linear. Vamos lembrar como resolvemos esses caras.
Passo 2
Como temos uma EDO de primeira ordem linear, vamos resolver pelo método do fator integrante. Comparando com a forma habitual, temos:
Passo 3
Vamos começar achando . Essa integral não precisa do , ok.
Podemos tirar o da integral porque ele é uma constante, então ficamos com
Lembrando que a temos que:
Passo 4
Agora que temos podemos achar o nosso fator integrante, que é desse jeitinho
Podemos simplificar desse jeitinho aqui:
E como e são funções inversas, um anula o outro, então é igual ao próprio , então ficamos apenas com:
Passo 5
Agora precisamos calcular . Substituindo:
Vamos fazer a distributiva, ficando com
Para ficar mais tranquilinho, vamos separar essa integral em 3 integrais mais fáceis, assim:
Ai, lembrando que temos que:
Passo 6
Agora que já temos a integral, vamos colocar na fórmula da solução geral.
Usando a nossa fórmula
Fazendo a distributiva, temos que
Podemos simplificar os , diminuindo os expoentes do numerador com os do denominador
E finalmente teremos nossa solução geral: