Resolva o Problema de Valor Inicial:
Passo 1
Oiee! Essa questão parece muito sinistra, mas não precisa se preocupar! Com o nosso passo a passo vamos perceber que ela não é um monstro de 7 cabeças.
Temos aqui uma EDO linear de primeira ordem que tem esse formato aqui
Show! Nossa equação é
Comparando essas equações temos que:
Vamos partir para o método.
Passo 2
Vamos começar calculando a
Passo 3
E, como
Não tem muito o que mexer, vamos deixar assim mesmo!
Passo 4
Agora vamos passar para o próximo passo que é calcular
Como a gente tem dois elevados a alguma coisa vamos juntar eles e somar os expoentes
Opa, eles vão zerar, que beleza! Então vamos ficar com
Como , que nos dá:
Podemos separar em duas integrais:
E resolvendo teremos:
Passo 5
Agora que já achamos todas os nossos coeficientes, vamos lembrar a fórmula que vai dar a nossa solução geral.
Substituindo o que encontramos nos outros passo e lembrando que é uma constante real.
Lembrando que se temos algo assim
Podemos escrever como
Então, podemos passar esse para cima mudando o sinal do expoente, ficando com
Passo 6
Show achamos a equação geral, mas a nossa jornada ainda não acabou, porque temos um Problema de Valor Inicial, que diz que , ou seja, quando , temos que . Então, vamos substituir esses valores na nossa equação para encontrar o valor da constante .
Agora a gente pega a solução geral que tínhamos e substitui o valor de que acabamos de encontrar.
Logo a solução do PVI será
Só uma observação antes de terminar: não é sempre que a nossa constante vai dar zero beleza? Nesse caso deu por coincidência, mas ele pode ser qualquer outro valor, por isso não podemos esquecer dele 😊