Identifique se a equação abaixo é uma equação linear de primeira ordem. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral.
Passo 1
Fala aii! Vamos partir pra cima de mais uma questão!!
A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:
Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.
Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:
- Tanto as derivadas de quanto o próprio não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
- Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de e o próprio dependem apenas de .
Está tudo de acordo, então temos uma equação linear de primeira ordem.
Passo 2
Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO linear, então vamos usar o nosso famoso formato
Lembrando que é a mesma coisa que
Vamos identificar e
Passo 3
Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são e . O próximo passo é calcular a integral
Vamos precisar lembrar que , ficando com
Agora para resolver essa integral vamos precisar lembrar do método de integração chamado de substituição simples, ele é feito assim:
Agora vamos substituir por e por na integral, fica assim:
A gente pode ver que podemos cortar os e, os sinais de se anulam.
Então ficamos com
Maaas não podemos esquecer que , então nossa integral fica:
Passo 4
A próxima coisa é calcular o fator integrante
No nosso caso
Como e são funções inversas, elas se anulam e o resultado é o que está dentro do ou seja
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
Como e , temos
Vamos de novo resolver utilizando substituição simples
Substituindo na integral temos que:
Podemos cortar os , ficando com:
Lembrando de novo que temos que voltar a substituição então
Passo 6
Ufa, agora só falta colocar tudo na formulinha:
Lembrando que
Fazendo , podemos reescrever a função desse jeito:
Mas como é uma constante qualquer podemos considerar como constante também, aí chegamos ao nosso resultado:
Pronto! Resolvida a nossa equação.
Resposta
Sim, ela é uma equação linear de primeira ordem, e sua solução geral é: