Um fator integrante da equação diferencial é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Pra achar o fator integrante, primeiro temos que botar a equação na forma da EDO linear que é essa aqui:
A EDO é
O coeficiente multiplicando tem que ser 1 então vamos dividir os 2 lados por :
Podemos também abrir essa fração em duas repetindo o denominador:
Agora passamos o termo que tem o para o lado direito da equação, ficando com:
A primeira coisa que fazemos quando percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem é identificar quem é o e o . Vamos comparar então:
Assim, vemos que:
Passo 2
Agora que a gente já sabe quem são os coeficientes e vamos partir para nosso próximo passo da receitinha de bolo, calcular lembrando que não precisamos colocar a constante de integração aqui 😊
Pra integral de temos ele tabeladinho como sendo .
Vamos agora lembrar de uma propriedade do . Podemos passar a constante que está multiplicando o para o expoente de quem está dentro dele. Assim:
No nosso caso, e Então:
Lembra que Com isso, nosso resultado será:
Passo 3
O que o enunciado pediu foi o fator integrante. Que será dado por:
Como nosso , o fator integrante se torna:
Como exponencial e são funções inversas, elas vão se cortar e vamos ficar com
E esse é finalmente o nosso fator integrante.
Resposta
Alternativa (b)