Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Opaaa, vamos que vamos pra reta final das nossas EDOs Lineares!
A primeira cosia que precisamos é determinar que tipos de EDO é essa.
Se dividirmos a equação inteira por , ficamos com
Perceba que essa equação está no formato
Então agora já sabemos o mecanismo para resolver. A única diferença é que as variáveis estão trocadas, mas isso não vai interferir no método de resolução.
Passo 2
Primeiro precisamos identificar e , comparando a equação que temos com o formato das EDOs Lineares, temos que:
Passo 3
O próximo passo é calcular a integral
Vamos utilizar a substituição
Então ficamos com
Que podemos reescrever assim:
E voltando para variável , fica:
Então achamos nossa integral! Só pra ficar bonitinho, tá aqui ela
Repara que tá dentro do logaritmo! Precisamos ter:
Passo 4
A próxima coisa é calcular o fator integrante
No nosso caso
Como a exponencial é o inverso do podemos cancelar os dois, sobrando só:
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
Uhul, mesma base, só somar os expoentes, que nos dará:
Bem mais tranquilo, né?
Podemos separar em duas integrais
Integrando ficamos com
Passo 6
E agora só falta colocar tudo na solução geral:
Sendo que
Então temos:
Que pode ser escrito como:
Passo 7
Maaas, temos um caso de Problema de valor inicial.
Aplicando na nossa solução substituindo o por e o por .
A gente faz isso pra descobrir qual o valor da constante . Então isolando ela, nós teremos:
Então, nossa solução final é