Encontre a solução do PVI abaixo:
Passo 1
Bom, temos ali uma EDO linear pra resolver. Então vamos começar colocar a equação na forma
Para que o coeficiente do termo seja devemos dividir tudo por :
Como colocamos o termo no denominador, temos que dizer que é diferente de zero:
Mas como no próprio enunciado do problema já diz que , então tudo em paz! E é só pra isso que essa informação está no enunciado, tá! Então não precisamos mais nos preocupar com ela. já não poderia ser zero de qualquer maneira!
Com isso, teremos:
Podemos simplificar as potências de e ficamos com:
Legal! Chegamos à forma que queríamos!
Passo 2
O próximo passo é encontrar e :
Comparando as duas equações:
Vemos que:
Passo 3
Agora vamos calcular a integral sem adicionar a constante:
Como o enunciado diz, , então podemos tirar as barrinhas de módulo, pois .
Então, nesse caso temos que
Passo 4
Show, estamos indo bem! Vamos agora calcular , que é dado por:
Como e são funções inversas, elas “se anulam” e o resultado é o que está dentro do , no caso é , então temos que:
Passo 5
Próximo passo é calcular
Substituindo o que já conhecemos, teremos:
Podemos cortar o com o do denominador ficando com
Então, temos que:
Passo 6
Agora que já calculamos tudo, é só colocar na nossa formulinha da solução geral e partir para o abraço!
Passo 7
Mas calma aí, nossa questão ainda não acabou, nesse caso o enunciado nos dá um valor inicial, ele diz que , isso quer dizer que quando , .
Essa solução que a gente acho aí é uma solução geral. Então vamos substituir todos os por e todos os por para achar quanto vale a nossa constante!
Substituindo na solução geral:
Lembrando que , teremos:
Substituindo a na solução geral:
Só uma observação antes de terminar: não é sempre que a nossa constante vai dar zero beleza? Nesse caso deu por coincidência, mas ele pode ser qualquer outro valor, por isso não podemos esquecer dele 😊