Analise a seguinte equação e diga se ela é linear de primeira ordem, em caso afirmativo, encontre sua solução geral.
Passo 1
Opa, fala aii! Vamos lá resolver nossa EDO!
A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:
Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.
Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:
- Tanto as derivadas de quanto o próprio não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
- Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de e o próprio dependem apenas de .
Está tudo de acordo! Sendo assim, temos sim uma equação linear de primeira ordem.
Passo 2
Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO é linear de primeira ordem,
Então, vamos começar dividindo toda a equação por
A equação da EDO Linear é desse jeitão aqui:
Passo 3
Agora, vamos identificar e comparando nossa equação ao formato que temos:
Vemos que:
Passo 4
Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são e . O próximo passo é calcular a integral
Resolvendo ficamos com:
Que pode ser escrita como:
Passo 5
A próxima coisa é calcular o fator integrante
No nosso caso
Como a exponencial é o inverso do os dois se cancelam, sobrando apenas:
Passo 6
Agora precisamos calcular a integral
Podemos cortar os do numerador e denominador, ficando com:
Vamos agora resolver essa integral usando o método da integração por partes. Pra isso fazemos:
Usando a fórmula da integração por partes
Então nossa integral ficou
Passo 7
Agora só falta colocar tudo na fórmula da solução geral
Já achamos os termos
Colocando isso na nossa fórmula, temos:
Pronto! Resolvida a nossa equação!