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Exercícios Resolvidos de Elementos de Lógica e Linguagem Matemática

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Exercício 123456789

Enunciado

Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

b   N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

c   E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

d   E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

e   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Passo 1

Bom, você deve estar arrancando os cabelos, depois de ter lido que vai ter que escrever essa galera toda na forma simbólica hahaha

Mas relaxa, vai ser muito divertido resolvermos isso! É como eu sempre digo, vamos começar do começo!

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

Bom, primeiramente, comecemos com a primeira palavra: “Existe”Na Matemática, essa palavra tem um símbolo associado a ela, que é o ∃ .

Agora, vamos olhar para “um número real n ”: esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o nosso n pertence. Como ele é real temos que:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n = ∃ n ∈ R

Maneiroooo! Falta só a expressão “tal que n 2 = 3 ”. Cara, “tal que” na Matemática pode ser substituído por “ | ” ou “ , ”

Vamos ver como fica:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

Na forma simbólica:

∃ n ∈ R   |   n 2 = 3

Passo 2

Bora pra próxima!!!

b   N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

A gente acabou de ver como é o símbolo de “Existe” ( ∃ ) . Mas e como é o símbolo de “Não existe”??? É simples, é só cortar esse ( ∃ ) :

N ã o   e x i s t e = ∄

Maneiro, agora olha a expressão “não existe racional x ”: já te falei que esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o x pertence. Logo:

N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x = ∄ x ∈ Q

Ai que lindo, to amando! Vamos para a próxima e última expressão: “tal que x 2 = 3 ”

É só substituir o “tal que” por “ | ” ou “ , ”

Assim, ficamos com:

N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

Na forma simbólica:

∄ x ∈ Q   |   x 2 = 3

Passo 3

Se liga nessa:

c   E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Gente, mesma coisa que acabamos de ver nesse iniciozinho! Temos o “existe” que substituiremos por ∃ .

A expressão “número inteiro x ” nos costuma dizer a qual conjunto a variável x pertence, então substituiremos por x ∈ Z

Agora vamos olhar para o finalzinho da nossa proposição:

x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Cara, é o seguinte: para x 2 ser par, ele precisa ser divisível por 2 . Então vamos reescrever a expressão assim:

x 2   é   d i v i s í v e l   p o r   2   e   p o r   5

Pensa comigo: pra um cara ser divisível por 2 e 5 ao mesmo tempo, ele tem que ser divisível por 10 , que é o produto deles dois. Logo:

x 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

E para ser divisível por 10 , ele precisa ser múltiplo de 10 , então ele será igual a 10 vezes algum cara que pode ser qualquer número natural. Então escreveremos assim:

x 2 = 10 k ,   k ∈ N

Ficamos com:

E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Na forma simbólica:

∃ x ∈ Z   |   x 2 = 10 k ,   k ∈ N

Passo 4

Próxima é essa:

d   E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

Show! Bora começar com a primeira palavra: “existe”. Ela será substituída por ∃ .

A segunda expressão é: “um número inteiro x ”. Como já falei, esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto a variável x pertence. Então, substituiremos por x ∈ Z .

A última expressão é: “tal que x 2 é par ou x 2 é ímpar”. Esse tal que vamos substituir por “ | ” e para x 2 ser par, ele precisa ser múltiplo de 2 .

Para x 2 ser ímpar, ele precisa ser escrito na forma 2 k + 1 ,   k ∈ N .

Então ficamos com:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

Na forma simbólica:

∃ x ∈ Z   |   x 2 = 2 k ∨ x 2 = 2 k + 1 ,   k ∈ N

Passo 5

e   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Bom, a primeira expressão é “para cada” e ela tem um símbolo associado a ela na Matemática: ∀ , que quer dizer “para todo”/ “para cada”/ “para qualquer”.

Próxima expressão: “número real x ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável x pertence. Assim, temos: x ∈ R

Agora a próxima é: “existe”. Já sabemos, é só substituir por ∃

Mais uma expressão: “um número real y ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável y pertence. Assim, temos: y ∈ R

Finalmente: “tal que x + y = 0 ”. Vamos substituir “tal que” por “ | ”

Ficamos com:

P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Na forma simbólica:

∀ x ∈ R , ∃ y ∈ R   |   x + y = 0

Resposta

a   ∃ n ∈ R   |   n 2 = 3

b   ∄ x ∈ Q   |   x 2 = 3

c   ∃ x ∈ Z   |   x 2 = 10 k ,   k ∈ N

d   ∃ x ∈ Z   |   x 2 = 2 k ∨ x 2 = 2 k + 1 ,   k ∈ N

e   ∀ x ∈ R , ∃ y ∈ R   |   x + y = 0

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