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Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

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Exercício 31245678

Enunciado

A barra uniforme de massa m e comprimento l é articulada em relação a um eixo horizontal que passa pela sua extremidade O e está presa a uma mola de torção, que exerce um torque M = K θ sobre ela, onde K é a rigidez da mola, expressa em unidades de torque por radianos, e θ é a deflexão angular em relação à vertical, medida em radianos. Determine o valor máximo de l , para o qual o equilíbrio na posição θ = 0 é estável.

Passo 1

A energia potencial associada à mola é dada por:

V e l = K θ 2 2

Repare que trocamos o x por θ , pois neste caso temos rotação θ da mola!

E a energia potencial gravitacional da barra?

Bom, vai ser dada pelo produto da massa, da gravidade e da altura do centro de gravidade:

V g = m g h

Para achar a altura do centro de gravidade vamos usar trigonometria:

Então:

h = l c o s θ 2

Substituindo na nossa fórmula, vamos ter que:

V g = m g h       →         V g = m g l 2 c o s θ

Passo 2

A energia total V será a soma das energias que achamos:

V = V e l + V g

∴

V = K θ 2 2 + m g l 2 c o s θ

Passo 3

Agora temos que derivar com relação a θ a expressão da energia total que achamos:

d V d θ = K θ - m g l 2 s e n θ

∴

d 2 V d θ 2 = K - m g l 2 c o s θ

Passo 4

Para que em θ = 0 exista uma equilíbrio devemos ter que:

d V 0 d θ = 0

Vamos ver se esta condição já foi satisfeita:

d V 0 d θ       →         K 0 - m g l 2 s e n 0 = 0

Então, a condição para ter equilíbrio foi satisfeita!

Passo 5

E para que este equilíbrio seja estável precisamos atender a esta condição aqui:

d 2 V 0 d θ 2 > 0

Então, vamos ter que derivar novamente a nossa expressão da energia total:

d 2 V d θ 2 = K - m g l 2 c o s θ

Agora vamos ver qual a condição para termos o equilíbrio estável:

d 2 V ( 0 ) d θ 2 > 0

∴

K - m g l 2 c o s ⁡ ( 0 ) > 0

∴

K - m g l 2 > 0       →             l < 2 K m g

Resposta

l < 2 K m g

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