A barra uniforme de massa e comprimento é articulada em relação a um eixo horizontal que passa pela sua extremidade e está presa a uma mola de torção, que exerce um torque sobre ela, onde é a rigidez da mola, expressa em unidades de torque por radianos, e é a deflexão angular em relação à vertical, medida em radianos. Determine o valor máximo de para o qual o equilíbrio na posição é estável.
Passo 1
A energia potencial associada à mola é dada por:
Repare que trocamos o por , pois neste caso temos rotação da mola!
E a energia potencial gravitacional da barra?
Bom, vai ser dada pelo produto da massa, da gravidade e da altura do centro de gravidade:
Para achar a altura do centro de gravidade vamos usar trigonometria:
Então:
Substituindo na nossa fórmula, vamos ter que:
Passo 2
A energia total será a soma das energias que achamos:
Passo 3
Agora temos que derivar com relação a a expressão da energia total que achamos:
Passo 4
Para que em exista uma equilíbrio devemos ter que:
Vamos ver se esta condição já foi satisfeita:
Então, a condição para ter equilíbrio foi satisfeita!
Passo 5
E para que este equilíbrio seja estável precisamos atender a esta condição aqui:
Então, vamos ter que derivar novamente a nossa expressão da energia total:
Agora vamos ver qual a condição para termos o equilíbrio estável: