A energia potencial de um sistema mecânico é dada por , onde é a coordenada de posição associada ao único grau de liberdade. Determine a posição, ou as posições, de equilíbrio e a condição de estabilidade do sistema de cada posição de equilíbrio.
Passo 1
Nosso primeiro passo é derivar com relação à a expressão da energia mecânica:
Depois vamos igualar a zero:
Repare que a nossa equação é do segundo grau, então teremos duas posições de equilíbrio!!!
Para determinar essas posições de equilíbrio devemos igualar a equação que achamos à zero:
Podemos escrever a nossa equação dessa forma aqui:
Então, os valores de que tornam a nossa equação igual a zero são:
E essas são as posições de equilíbrio que estávamos procurando!!!
Passo 2
Agora vamos ver se essas condições são de equilíbrio estável ou instável. Para isso temos que derivar mais uma vez a nossa expressão de energia:
Agora temos que substituir os valores de que achamos para a posição de equilíbrio nesta equação aí de cima:
Como nosso resultado é maior que zero, então estamos na condição do equilíbrio estável:
E para , temos que:
Como obtemos um resultado menor que zero, então estamos na condição do equilíbrio instável:
Assim: quando será uma condição estável e quando teremos uma condição instável.