Considere a EDO . Encontre uma solução constante para ela e determine sua solução geral.
Passo 1
O problema pediu para encontrarmos uma solução constante para então procurar a solução geral. OK, vamos então supor solução
Para determinar o valor de , substituímos na EDO:
Comparando os dois lados, temos que:
Essa equação está na forma do quadrado perfeito, portanto:
Passo 2
Beleza, agora que achamos , como que encontramos a solução geral do problema? Repara lá que reorganizando a nossa EDO teremos:
Que é uma EDO de Riccati, pois está no formato:
Para resolver esse tipo de EDO, precisamos de uma solução particular, que no caso é a solução constante que acabamos de encontrar. Com essa solução, definimos a variável:
A ideia é substituir na EDO original. Vamos escrever tudo em função dessa variável então:
Com tudo pronto, substituímos:
Simplificando, vai ficar:
E essa vai ser a nova EDO.
Passo 3
OK, mas como nossos problemas melhoraram? Bem a nova EDO está na forma
Com . Portanto, está na forma da EDO de Bernoulli. Então vamos seguir o passo a passo deste tipo de EDO para resolver o problema, vamos lá?
Começamos dividindo tudo por :
Agora definimos . Para substituir, derivamos usando a regra da cadeia:
Assim, teremos:
Passo 4
OUTRA EDO, NÃO ACABA NUNCA?! Calma, calma, agora vai! Essa é uma EDO LINEAR, pois temos:
Ou seja, a solução será na forma:
Em que é o fator integrante, que no caso vai ser:A integral então vai ser:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes com:
Ou seja, nossa solução em vai ser:
Passo 5
Essa é a solução final? Não! Temos que voltar para e então ir para agora. Vimos que:
Assim, teremos:
Finalmente, voltamos para . Pela definição:
Assim, teremos:
Agora sim, temos a solução geral!