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Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

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Exercício 12345678910

Enunciado

Resolva a equação abaixo

y ' = sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x y + y 2 ,           y 1 = tan ⁡ x

Passo 1

Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati

y ' = y 2 - tan ⁡ x y + sec 2 ⁡ x

Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z + tan ⁡ x

z + tan ⁡ x ' = z + tan ⁡ x 2 - tan ⁡ x z + tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x

z ' + sec 2 ⁡ x = z 2 + 2 z tan ⁡ x + tan 2 ⁡ x - z tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x

z ' = z 2 + 2 z tan ⁡ x - z tan ⁡ x

z ' - tan ⁡ x z = z 2

Que é de Bernoulli.

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' - tan ⁡ x z = z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 - tan ⁡ x z z 2 = z 2 z 2

z - 2 z ' - tan ⁡ x z - 1 = 1

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' - tan ⁡ x u = 1

u ' + tan ⁡ x u = - 1

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' + tan ⁡ x u = - 1

Calculando I x

∫ tan ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x

Então I x = e ln ⁡ sec ⁡ x = sec ⁡ x

Temos um problema de módulo aqui, nesse caso para facilitar um pouco as contas vamos considerar apenas o caso onde a secante é positiva.

Então I x = sec ⁡ x

Calculando ∫ I x . B x d x

∫ sec ⁡ x . - 1 d x = - ∫ sec ⁡ x d x = - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Aqui não precisamos facilitar as contas tirando esse módulo porque essa já é a última integral que vamos fazer.

Então a solução em u é:

u = 1 sec ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C = cos ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = cos ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

z = 1 cos ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z + tan ⁡ x

y = 1 cos ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C + tan ⁡ x

Resposta

y = 1 cos ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C + tan ⁡ x

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