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Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

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Exercício 61234578910

Enunciado

Nos exercícios 29 a 30 resolva o PVI.

29 .   y ' = sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x y + y 2 , se y 1 = tan ⁡ x é uma solução da EDO e y 0 = 1 / 2 .

Passo 1

Essa equação envolve y 2 e y e por isso ela está com muita cara de ser do tipo Ricatti.Você lembra como é a equação de Ricatti?

Tem que ser assim:

y ' = a x y 2 + b x y + c x

Nossa EDO é a seguinte:

y ' = sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x y + y 2

Identificando os termos:

a x = 1 b x = - tan ⁡ x c x = sec 2 ⁡ x

Show!!! Ela está do jeitinho que esperávamos!

Passo 2

Agora que a gente já sabe que é uma equação do tipo Ricatti, vamos resolvê-la.

Para fazer isso, você precisa introduzir uma variável:

z = y - y 1

Sendo que esse y 1 é uma solução particular. No nosso caso, já foi dada essa solução. Então:

y 1 = tan ⁡ x

z = y - tan ⁡ x

y = z + tan ⁡ x

Derivando ambos os lados com respeito a x :

y ' = z ' + sec 2 ⁡ x

Passo 3

Bom, agora a gente substitui esta relação na EDO:

y ' = sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x y + y 2

z ' + sec 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x ( z + tan ⁡ x ) + z + tan ⁡ x 2

z ' + sec 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x z - tan 2 ⁡ x + z 2 + 2 z tan ⁡ x + tan 2 ⁡ x

z ' = - tan ⁡ x z + z 2 + 2 z tan ⁡ x

Então:

z ' = z 2 + z tan ⁡ x

Passo 4

Bom, agora caímos numa EDO do tipo Bernoulli [lembrando que uma equação do tipo Bernoulli é z ' + p x z = q ( x ) z n ]. Vamos resolvê-la! Reescrevendo nossa EDO para ficar daquele jeito:

z ' - z tan ⁡ x = z 2

z ' z 2 - tan ⁡ x 1 z = 1

Chamando

u = z 1 - 2 = z - 1

d u d x = - 1 z 2 d z d x → z ' z 2 = - u '

Substituindo na EDO:

- u ' - tan ⁡ x u = 1

u ' + tan ⁡ x u = - 1

AEEEEE finalmente!!! Agora ficou mais bonitinho. Vamos resolver do jeitinho que já vimos.

Passo 5

Sabendo que nossa EDO é linear de 1 ª ordem:

u ' + tan ⁡ x u = - 1

A solução é a seguinte:

u x = 1 I x ∫ B x I x d x + C

Onde I x = e ∫ A x d x .

Identificando cada termo:

A x = tan ⁡ x B x = - 1

Calculando I x :

∫ A x d x = ∫ tan ⁡ x d x

∫ tan ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples, já que senos e cossenos estão relacionados quando falamos de integrais ou derivadas.

Chamando v = cos ⁡ x → d v = - sen ⁡ x d x

∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - ∫ 1 v d v

- ∫ 1 v d v = - ln ⁡ v

Logo,

I x = e - ln ⁡ v = v - 1

Lembrando que v = cos ⁡ x :

I x = 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

Agora calculando o termo faltante:

∫ B x I x d x = ∫ - sec ⁡ x d x = - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Passo 6

Então nossa solução para u ( x ) ficou:

u x = 1 sec ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

E agora vamos substituindo até chegarmos em y novamente:

u = z - 1

z x = sec ⁡ x C - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

E finalmente:

y = z + tan ⁡ x

y = sec ⁡ x C - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + tan ⁡ x

Passo 7

Aleluia!!!! Agora só falta a gente usar a condição inicial! Partiu?

y 0 = 1 2

sec ⁡ 0 C - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 + tan ⁡ 0 = 1 2

1 C - ln ⁡ 1 = 1 2

1 C = 1 2 → C = 2

Então, nossa solução é:

y = sec ⁡ x 2 - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + tan ⁡ x

Resposta

29 .   y = tan ⁡ x + sec ⁡ x 2 - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

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