UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 3
A taxa com que uma gota esférica se evapora é proporcional a sua área. Determine o raio da gota em função do tempo, supondo que no instante o seu raio é e que em uma hora seu raio seja a metade (lembrando que e ).
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Aqui temos um problema de modelagem utilizando equações diferenciais, o enunciado nos indica tudo que precisamos para resolver este problema! Primeiro indica que a taxa com que a gota evapora é proporcional a área superficial da gota, ou seja, temos que
em que é uma constante de proporcionalidade! O enunciado também nos dá uma condição inicial sobre o raio, sendo esta
O que a questão nos pede é a função . A primeira coisa que precisaremos fazer é escrever uma equação diferencial para o raio! A relação dada entre a variação do volume e a área superficial é a nossa salvação! Vamos começar daqui!
Passo 2
O enunciado nos dá a relação
usando que , podemos escrever que
simplificando algumas constantes em comum dos dois lados, temos
O lado esquerdo aqui é o segredo! Como temos que o raio é uma função do tempo, precisamos usar a regra da cadeia para escrever
Lembra como fazer esta derivada? Vamos para o próximo passo!
Passo 3
A derivada pode ser resolvido pela regra do tombo, temos que
Ou seja, a nossa equação diferencial é simplesmente
Simplificando os termos em comum, temos então que
que é a equação diferencial que rege a diminuição do raio da gota, e indica que o raio diminui de maneira constante. Na verdade, por enquanto nada indica que o raio está diminuindo, mas tendo em vista que a gota está evaporando, espera-se que a constante acima seja negativa! Vamos ver se isso é verdade!
Passo 4
Vamos tentar resolver a equação diferencial, temos que ela é separável, e portanto, pode ser escrita como
integrando dos dois lados, lembrando que para , temos , obtemos
Temos aqui integrais de infinitesimais, portanto, podemos apenas avaliar os limites diretamente da seguinte maneira
obtemos então que o raio evoluí como
Mas ainda falta a constante de proporcionalidade. O enunciado nos afirma que após hora, temos que . Vamos usar isso!
Passo 5
Se usarmos que , obtemos
Isolando a constante de proporcionalidade, temos que
E a função do raio é tal que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!