UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 38
Determine a solução do problema
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos a seguinte equação diferencial (ED)
com as condições de fronteira (CF)
e condições iniciais (CI)
Essa é a equação que descreve a evolução temporal e espacial da temperatura ao longo de um barra de comprimento , em que inicialmente a temperatura é dada por , e temos que as condições de contorno são dadas sobre a derivada espacial da temperatura nas extremidades e . Vamos procurar uma solução estacionária para tentar reescrever o problema de uma maneira mais usual! Saca só!
Passo 2
A solução estacionária é construída tal que
ou seja, uma solução independente do tempo. Substituindo em nossa equação diferencial obtemos uma equação mais simples da forma
de forma que podemos integrar duas vezes para obter o seguinte formato
As condições de contorno estacionárias são tais que
e
derivando a nossa função temos que
de forma que . Não temos como restringir o valor de , ele pode ser qualquer, mas como isso é em geral indiferente para a evolução de nossa temperatura, vamos escolher . De forma que a nossa solução estacionária é simplesmente
Definindo então o transiente tal que
a equação do calor se torna
com condições de contorno da forma
e
A condição inicial é dada simplesmente por
Este problema nós conseguimos resolver por separação de variáveis, saca só!
Passo 3
O método de separação de variáveis é tal que propomos uma solução da forma
aplicando em nossa equação diferencial, temos que
Separando as variáveis temos que
note que ambos os lados da equação diferencial deve ser igual a uma constante negativa. A razão da constante ser negativa foi discutida em questões anteriores, mas é pelo fato de que isso possibilita que encontremos soluções não-nulas para este problema. Belezinha? Qualquer coisa procure revisar um pouco dos conceitos mais básicos de EDP! Por hora, vamos apenas resolver ambos os lados da equação!
Passo 4
O lado esquerdo é uma equação diferencial de primeira ordem separável, portanto, ela pode ser resolvida como
integrando de ambos os lados temos que
ou simplesmente
Vamos trabalhar com o lado direito agora! Saca só!
Do lado direito temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea dada por
o polinômio característico relacionado é tal que
portanto, temos raízes complexas conjugadas da forma . E, sendo assim, a solução é da forma
Precisamos avaliar as condições de contorno, mas quais são elas? Note que
resulta em uma solução trivial, portanto, temos que
e, analogamente, temos que
Vamos aplicar essas condições e encontrar as nossas constantes!
Passo 5
Derivando a nossa função temos que
em , temos que
e, usando , temos que
Para termos soluções não nulas iremos buscar que
Portanto, temos infinitas soluções não-nulas da forma
de forma que temos a nossa solução transiente como
Ou seja, as soluções gerais são da forma
Vamos aplicar a condição inicial! Vem comigo!
Passo 6
Nossa condição inicial diz que
portanto, temos que
note que estes são os coeficientes pares da série de Fourier, portanto, podemos escrever que
e, também que
Vamos resolver essas integrais! Bora lá!
Passo 7
Algumas integrais podem ser identificadas diretamente, tais como
e, também
Agora, a seguinte integral
deve ser integrada por partes, obtendo
A última integral vai precisar de um pouco mais de retrabalho! Vamos dar uma olhada nela isoladamente!
Passo 8
Temos que resolver a seguinte integração
Vamos usar a seguinte relação
temos que e , portanto, podemos usar que
e
com essas duas equações obtemos que
e, portanto
De forma que o nosso integrando se torna
Essas integrais podem ser identificadas como
e, também
note que essa solução não vale para , caso em que temos
que usando uma substituição simples resulta em
Vamos juntar os nossos resultados agora!
Passo 9
Temos que
e, para os enésimos, temos que
quando . E, por último
.
Quando for ímpar, temos que os resultam em
ou se é par. De forma que os nossos coeficientes podem ser resumidos como
E, finalmente, a nossa solução é dada por
ou, simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!