Exercícios Resolvidos de Fluxo Concatenado e Indutância

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Enunciado

O circuito magnético abaixo tem dois enrolamentos e dois entreferros. Pode-se supor que o núcleo tenha permeabilidade infinita. As dimensões do núcleo são indicadas na figura.

a Suponha que a bobina 1 esteja conduzindo uma corrente i 1 e a corrente na bobina 2 seja zero, calcule ( i ) a densidade de fluxo magnético em cada um dos entreferros, ( i i ) o fluxo concatenado do enrolamento 1 e i i i o fluxo concatenado do enrolamento 2 .

b Repita a parte ( a ) , supondo uma corrente zero no enrolamento 1 e uma corrente i 2 no enrolamento 2 .

( c ) Repita a parte ( a ) , supondo que a corrente do enrolamento 1 seja i 1 e a corrente do enrolamento 2 seja i 2 .

( d ) Encontre as indutâncias próprias dos enrolamentos 1 e 2 , e a indutância mútua entre os enrolamentos.

Passo 1

Esse circuito magnético é um pouco complicado de se analisar diretamente. Então, vamos utilizar a analogia entre circuitos magnéticos e elétricos e desenhar o circuito associado a esse problema.

Como a permeabilidade do núcleo é infinita, sua relutância é zero. Então, vamos considerar apenas as relutâncias do entreferro. Além disso, devido aos dois enrolamentos teremos duas F M M s . Portanto, desenhando o circuito temos:

Onde as relutâncias dos entreferros são:

R g 1 = g 1 μ 0 A 1                         e                         R g 2 = g 2 μ 0 A 2

Passo 2

Na letra ( a ) a bobina 1 tem uma corrente i 1 e i 2 = 0 . Logo, F 2 = 0 , o que significa que podemos substituí-la por um curto-circuito.

Primeiro, temos que determinar a densidade de fluxo em cada entreferro. A densidade de fluxo do primeiro entreferro pode ser calculada pela divisão entre o fluxo que passa por ele ( ϕ 3 ) e a área da sua seção reta ( A 1 ) :

B g 1 = ϕ 3 A 1

Pela analogia entre circuitos elétricos e magnéticos, sabemos que:

F = R ϕ

Logo, o fluxo que passa pelo primeiro entreferro pode ser determinado assim:

ϕ 3 = F 1 R g 1

Como

F 1 = N 1 i 1                   e                 R g 1 = g 1 μ 0 A 1

Substituindo:

ϕ 3 = N 1 i 1 g 1 μ 0 A 1

ϕ 3 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1

Passo 3

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no primeiro entreferro será:

B g 1 = ϕ 3 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 × 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1

Passo 4

Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:

B g 2 = ϕ 2 A 2

A segunda relutância está em paralelo com a primeira. Logo, nela também está sendo aplicada a mesma F M M .

ϕ 2 = F 1 R g 2

ϕ 2 = N 1 i 1 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:

B g 2 = ϕ 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 × 1 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 g 2

Passo 5

No item ( i i ) , temos que determinar o fluxo concatenado do enrolamento 1 . Pela definição, o fluxo concatenado é o produto entre o número de espiras da bonina e o fluxo que passa por essa bobina. Então, para a bobina 1 , temos:

λ 1 = N 1 ϕ 1

Analisando o nó do nosso circuito, temos que

ϕ 1 = ϕ 3 + ϕ 2

Logo, o fluxo concatenado da primeira bobina será:

λ 1 = N 1 ( ϕ 3 + ϕ 2 )

Substituindo os fluxos pelos seus valores que determinamos anteriormente:

λ 1 = N 1 μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 + μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1

Passo 6

Da mesma forma, no item ( i i i ) , o fluxo concatenado da bobina 2 é

λ 2 = N 2 ϕ 2

Como ϕ 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

Temos:

λ 2 = N 2 μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1

Passo 7

Agora, vamos fazer a mesma análise para a letra ( b ) . Para essa letra, i 1 = 0 e na bobina 2 circula uma corrente i 2 . Logo, podemos substituir por um curto-circuito a fonte F 1 e analisar o circuito abaixo:

Nesse caso o fluxo que passa pelo primeiro entreferro ( ϕ 3 ) é zero, já que todo o fluxo produzido pela F M M 2 passará pelo curto-circuito. Logo:

ϕ 3 = 0

ϕ 1 = ϕ 2

Como ϕ 3 = 0 , a densidade de fluxo no primeiro entreferro é zero.

B g 1 = ϕ 3 A 1

B g 1 = 0 A 1

B g 1 = 0

Passo 8

No segundo entreferro teremos:

B g 2 = ϕ 2 A 2

Como analisamos, podemos desconsiderar R g 1 , já que não passa fluxo algum por ela. Então, podemos reduzir nosso circuito:

Então, temos o circuito mais simples possível, com uma fonte em série com uma relutância, e o fluxo que passa pelo segundo entreferro ( R g 2 ) é

ϕ 2 = F 2 R g 2

ϕ 2 = N 2 i 2 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:

B g 2 = ϕ 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2 A 2

B g 2 = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2 × 1 A 2

B g 2 = μ 0 N 2 i 2 g 2

Passo 9

Agora, vamos fazer o item ( i i ) . O fluxo concatenado do enrolamento 1 é definido como:

λ 1 = N 1 ϕ 1

Como ϕ 1 = ϕ 2 , temos:

λ 1 = N 1 μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

λ 1 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2

Passo 10

Já no item i i i temos que determinar o fluxo concatenado da segunda bobina.

λ 2 = N 2 ϕ 2

Substituindo:

λ 2 = N 2 μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

λ 2 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

Passo 11

Agora, na letra ( c ) , ambos os enrolamentos possuem corrente. Logo, temos que considerar as duas F M M s .

Como a relutância do primeiro entreferro está ligada em paralelo com F 1 , temos:

ϕ 3 = F 1 R g 1

ϕ 3 = N 1 i 1 g 1 μ 0 A 1

ϕ 3 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade de fluxo no primeiro entreferro será:

B g 1 = ϕ 3 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 × 1 A 1

B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1

Passo 12

Da mesma forma, no segundo entreferro teremos:

B g 2 = ϕ 2 A 2

Agora temos que ter cuidado ao calcular ϕ 2 , já que F 2 não está ligada diretamente a relutância. Então, vamos usar um método de análise que já conhecemos de circuitos elétricos: o método da superposição.

Vamos considerar a contribuição de cada fonte para gerar o ϕ 2 e depois soma-las. Então:

ϕ 2 = ϕ 2 ' + ϕ 2 ' '

Onde ϕ 2 ' é a contribuição da fonte   F 1 e ϕ 2 ' ' é a contribuição da fonte F 2 .

Pelo método da superposição, quando queremos determinar a contribuição de uma das fontes temos que desligar a outra. Logo, como as fontes são análogas às fontes de tensão, desliga-las é o mesmo que substituí-las por um curto-circuito.

Considerando apenas a primeira fonte temos o circuito abaixo:

Esse é o mesmo circuito que analisamos na letra ( a ) , está lembrado?

Para esse circuito:

ϕ 2 ' = F 1 R g 2

ϕ 2 ' = N 1 i 1 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 ' = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2

Passo 13

Agora vamos considerar apenas a segunda fonte:

Esse é o mesmo circuito que utilizamos na letra ( b ) . Como tínhamos analisado, podemos desconsiderar R g 1 , já que não passa fluxo algum por ela, e reduzir nosso circuito:

Então, o fluxo que passa pelo segundo entreferro ( R g 2 ) é

ϕ 2 ' ' = F 2 R g 2

ϕ 2 ' ' = N 2 i 2 g 2 μ 0 A 2

ϕ 2 ' ' = μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

Portanto, o fluxo total que passa pelo segundo entreferro será:

ϕ 2 = ϕ 2 ' + ϕ 2 ' '

ϕ 2 = μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 + μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

ϕ 2 = N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2

Passo 14

Então, substituindo o valor encontrado para o fluxo, a densidade no segundo entreferro será:

B g 2 = ϕ 2 A 2

B g 2 = N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2 A 2

B g 2 = N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2 × 1 A 2

B g 2 = μ 0 N 1 i 1 + N 2 i 2 g 2

Passo 15

Agora, vamos fazer o item ( i i ) . O fluxo concatenado do enrolamento 1 é definido como:

λ 1 = N 1 ϕ 1

Analisando o nó do nosso circuito, temos que

ϕ 1 = ϕ 3 + ϕ 2

Logo:

λ 1 = N 1 ( ϕ 3 + ϕ 2 )

λ 1 = N 1 μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 + N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2

λ 1 = N 1 μ 0 N 1 i 1 A 1 g 1 + μ 0 N 1 i 1 A 2 g 2 + μ 0 N 2 i 2 A 2 g 2

λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2

Passo 16

Já no item i i i temos que determinar o fluxo concatenado da segunda bobina.

λ 2 = N 2 ϕ 2

Substituindo:

λ 2 = N 2 N 1 i 1 + N 2 i 2 μ 0 A 2 g 2

λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

Passo 17

Estamos quase terminando! Na letra ( d ) temos que determinar as indutâncias próprias dos enrolamentos 1 e 2 , e a indutância mútua entre os enrolamentos. Vamos começar pelo primeiro enrolamento.

A fórmula que relaciona fluxo concatenado e indutância é essa:

λ 1 = L 11 i 1 + L 12 i 2

Onde L 11 é a indutância própria do enrolamento 1 e L 12 é a indutância mútua entre os enrolamentos.

Na letra ( c ) , tínhamos calculado o fluxo concatenado da primeira bobina:

λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2

Comparando com

λ 1 = L 11 i 1 + L 12 i 2

Vemos que a indutância própria do enrolamento 1 é toda expressão que está multiplicando a corrente i 1 e a mútua é a expressão que está multiplicando a corrente da outra bobina.

Logo,

L 11 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2

E

L 12 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2

Passo 18

Agora vamos fazer a mesma análise para a bobina 2 .

λ 2 = L 21 i 1 + L 22 i 2

Onde L 21 = L 12 é a indutância mútua e L 22 é a indutância própria do segundo enrolamento.

Na letra ( c ) , tínhamos calculado o fluxo concatenado da segunda bobina:

λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

Comparando com

λ 2 = L 21 i 1 + L 22 i 2

Vemos que a indutância própria do enrolamento 2 é toda expressão que está multiplicando a corrente i 2 e a mútua é a expressão que está multiplicando a corrente da outra bobina.

Logo,

L 22 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2

E

L 21 = L 12 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2

Resposta

a       i   B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1 ;   B g 2 = μ 0 N 1 i 1 g 2                   i i   λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1                   i i i   λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1

b       i   B g 1 = 0 ;   B g 2 = μ 0 N 2 i 2 g 2                         i i   λ 1 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2                     i i i   λ 2 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

c       i   B g 1 = μ 0 N 1 i 1 g 1 ;   B g 2 = μ 0 N 1 i 1 + N 2 i 2 g 2                                 i i   λ 1 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 2               i i i   λ 2 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2 i 1 + μ 0 N 2 2 A 2 g 2 i 2

d   L 11 = μ 0 N 1 2 A 1 g 1 + A 2 g 2 ;   L 22 = μ 0 N 2 2 A 2 g 2 ;   L 21 = L 12 = μ 0 N 1 N 2 A 2 g 2

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