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G2 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2015.1

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e b ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

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Seja f x , y = x 3 - y 2 . Considere as curvas de nível

C 0 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = 0

e

C - 1 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = - 1

a) Exiba uma parametrização da forma α t = g t , t ,   t ∈ a , b para C - 1 ∩ x , y ∈ R 2 | - 1 < y < 1 , explicitando g t , a e b . E, ainda, calcule α ' t .

b) Exiba uma parametrização da forma β t = t , h t , t ∈ I , para C - 1 ∩ x , y ∈ R 2 | y ≥ 0 .

c)Encontre o(s) pontos de C - 1 onde sua reta tangente é vertical.

d)Encontre o(s) pontos de C - 1 onde sua reta tangente é horizontal.

e) Esboce C 0 e C - 1 .

f) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 de C - 1 onde a reta tangente à C - 1 neste ponto é paralela à reta 2 x - y = 1 . Dica: Levem em conta que x = 2 é solução da equação - 9 16 x 4 + x 3 + 1 = 0 e t = 6 é solução de 2 3 t 2 3 - 1 4 t 2 = - 1 .

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Listas de Exercícios Resolvidos

G2 - 2012.2G2 - 2013.1G1 - 2013.2G1 - 2014.1G3 - 2012.2G1 - 2014.2G3 - 2013.2G4 - 2016.2G3 - 2018.2G4 - 2019.2