Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia
Seja , . Sejam e . Considere a composta .
Assuma:
Para e .
Calcule e em função de e .
Passo 1
Aqui a dica é a seguinte: o enunciado pediu pra assumir e como valores constantes. Isso, naturalmente, não foi por acaso! Vejamos, se colocamos o ponto em , teremos:
E, colocando esse ponto em , teremos:
E, olha só! Colocando esse e em , temos , que é exatamente o ponto no qual ele nos pede as derivadas :D Viu só? Isso parece “acaso”, mas nunca é XD
Passo 2
Agora que já sabemos que todo que aparecer na jogada vai ser esse ponto para gerar o , vamos apenas usar a regra da cadeia para calcular genericamente o valor dessas derivadas, e depois colocar os valores que tivermos em função de e !
Se desenvolvermos , simplesmente pela definição , pela regra da cadeia, teríamos:
Colocando os pontos e , temos:
Como , então, temos:
Beleza?
Passo 3
Agora, vamos desenvolver o , pela regra da cadeia:
Colocando os pontos que queremos:
Prontinho :D
Passo 4
Agora nos resta a pergunta: quanto valem ? Isso nós podemos calcular, pois e nos foram dados!
Se e , então:
Colocando o nosso ponto , temos:
Show!
Passo 5
Agora, voltamos nas equações de e com os valores das derivadas de e em relação a e :
E, para o ,
E, agora, só precisamos resolver o sistema:
Somando as duas equações, teremos:
Subtraindo a de baixo da de cima, temos:
E aí estão nossas derivadas :D
Resposta
e