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G2 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2012.2

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 x 3 + z 3 - y = 3

S 2 = x , y , z ∈ R 3 z 2 - x 2 = 1 ,   z > 0 , - 1 ≤ x ≤ 1

Considere a curva espacial de interseção das superfícies, C = S 1 ∩ S 2 .

  1. Exiba uma parametrização α - : a , b → R 3 de C ,

    2. α t = x t , y t , z t ∈ C ,         t ∈ a , b

    Satisfazendo

  • α a , b = C
  • α ' t ≠ 0 ,   ∀ t ∈ a , b

Explicitando a , b e α t , t ∈ a , b

  • Escreva a equação cartesiana do plano π ortogonal à curva espacial C passando pelo ponto 0 , - 2,1

    • Ver solução completa

    Seja f x , y uma função com derivadas parciais f x x . f y y , f x y = f y x contínuas. Sejam

    x u , v = ln ⁡ 1 + u 2 + v 2

    y u , v = e u + v sen ⁡ u v

    E

    g u , v = f x u , v , y u , v

    Assuma que

    f ln ⁡ 2 , 0 = 1 ,       f x ln ⁡ 2 , 0 = 2 ,       f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

    Calcule o gradiente de g u , v no ponto 0,1 . Calcule também a taxa de maior variação de g u , v no ponto 0,1

    Ver solução completa

    Considere a função

    f x , y , z = x 2 + x y + y 2 - z 2

    E a superfície

    S = x , y , z ∈ R 3 f x , y , z = 1

    1. Determine quais dos pontos abaixo pertencem à superfície S :

      2. P 1 = 1,0 , 0 ,           P 2 = 1 , - 1 , 3 ,           P 3 = 1,0 , - 1

    2. Escolha um ponto do item anterior que pertença à superfície S . Escreva a equação cartesiana do plano tangente a S passando por esse ponto.
    3. Considere os pontos P = 1 , - 1,0 e Q = 0,1 , 0 pertencentes à superfície S . Considere o vetor v - = 1,1 , 3 2 . Seja r 1 a reta passando por P com vetor diretor v - , e seja r 2 a reta passando por Q com vetor diretor v - . Determine se r 1 é tangente a S no ponto P , e se r 2 é tangente a S no ponto Q . Justifique sua resposta

    OBS: Uma reta é tangente a superfície S em um ponto x 0 , y 0 , z 0 ∈ S se e somente se a reta passa pelo ponto x 0 , y 0 , z 0 e está contida no plano tangente à superfície neste ponto.

    Ver solução completa

    Seja f x , y uma função com derivadas parciais f x x . f y y , f x y = f y x contínuas. Sejam

    x u , v = ln ⁡ 1 + u 2 + v 2

    y u , v = e u + v sen ⁡ u v

    E

    g u , v = f x u , v , y u , v

    Assuma que

    f ln ⁡ 2 , 0 = 1 ,       f x ln ⁡ 2 , 0 = 2 ,       f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

    Sabendo que

    f x x ln ⁡ 2 , 0 = a ,       f x y ln ⁡ 2 , 0 = b ,       f y y ln ⁡ 2 , 0 = c

    Calcule g v v 0,1 em função de a , b e c .

    Ver solução completa

    Listas de Exercícios Resolvidos

    G2 - 2013.1G1 - 2013.2G1 - 2014.1G3 - 2012.2G1 - 2014.2G3 - 2013.2G2 - 2015.1G4 - 2016.2G3 - 2018.2G4 - 2019.2