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G3 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2014.2

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Seja f x , y = x y - x y 2 - x 2 y definida no quadrado aberto Q dado por 0 < x < 1 e 0 < y < 1 .

a) Calcule os pontos críticos de f em Q

b) Classifique os pontos críticos de f em Q

c) Determine um aberto A ⊂ Q na forma A = x , y ∈ Q         g x , y > 0 explicitando g x , y e satisfazendo as seguintes propriedades:

  • 1 3 , 1 3 ∈ A
  • A hessiana de f em x , y ∈ A seja estritamente negativa definida.

d) Seja K = x , y ∈ R 2         0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 . Calcule o valor máximo e mínimo de f restrita à K .

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Considere as constantes positivas a e b com 0 < b ≤ a e:

U = x , y , z ∈ R 3 |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   0 ≤ z ≤ b

Seja a integral tripla

I = I a , b = ∫ ∫ ∫ U x y z   d V

a) Para b < a esboce o desenho de U . Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas r , θ , z . Não é necessário calcular a integral!

b) Para b = a , calcule I em função de a .

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Listas de Exercícios Resolvidos

G2 - 2012.2G2 - 2013.1G1 - 2014.1G3 - 2012.2G2 - 2015.1G3 - 2013.2G1 - 2015.1G4 - 2016.2G3 - 2018.2G4 - 2019.2