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G3 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2018.1

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Seja

D = x , y ∈ R 2   x > 0 }  

E seja f   : D → R definida por

f x , y = x 3 6 + y x 2 2 - y 3 6 + x y 2 2 + y 2 2 - 6 x     ,     x , y ∈ D

  1. Seja det ⁡ H f x , y o determinante da matriz hessiana de f em x , y ∈ D . Obtenha as funções L 1 ( x , y ) e L 2 ( x , y ) tal que

    2. det ⁡ H f x , y = L 1 x , y ∙ L 2 x , y ,   x , y ∈ D

  2. Classifique os pontos críticos de f em D
  3. Encontre funções g 1 x , y e g 2 x , y tal que f restrita ao conjunto aberto

A = x , y ∈ D   g 1 x , y > 0   e   g 2 x , y > 0 }  

Seja estritamente convexa. Desenhe A tracejando e explicite x 0 , y 0 ∈ A

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Questão 2: Seja

U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |       y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x + z ≤ 1 ,   x ≥ y 2

  1. Obtenha funções f x ,   y , h 1 y e h 2 y e uma constante a tal que

    2. U = x ,   y ,   z ∈ R 3     |   0 ≤ z ≤ f x ,   y   ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y   ,   0 ≤ y ≤ a

    Desenhe a projeção R de U no plano x y e explicite no desenho as equações cartesianas das curvas que compõe a fronteira de R .

  2. Considere a integral tripla

    3. I = ∭ U   g x ,   y ,   z   d x d y d z

    Escreva I na forma de uma integral iterada, integrando primeiro com respeito à variável z , em seguida com respeito à x e finalmente integrando com respeito à y .

  3. Fazendo g x ,   y ,   z = 2 y e z , calcule

I = ∭ U   2 y e z   d z d x d y

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Listas de Exercícios Resolvidos

G2 - 2012.2G2 - 2013.1G1 - 2014.1G3 - 2012.2G1 - 2014.2G3 - 2013.2G2 - 2015.1G4 - 2016.2G3 - 2018.2G4 - 2019.2