G1 de Cálculo 3 - MAT1163 da PUCRIO - 2013.2

Seja . Mostre que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a:

Sugestão: Use coordenadas polares. Justifique.

Sejam , , uma função de classe e a curva parametrizada definida por

1. Calcule a matriz jacobiana de e de
2. Calcule a derivada de no ponto
3. Repita os itens anteriores para , , e

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para definida por

Onde

É uma função de classe e

É uma função de classe , tem-se que

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Se é dada por e , então

Considere a integral

Onde é o triangulo de vértices nos pontos , e

1. Usando a mudança de variáveis com e , encontre a região tal que e esboce e
2. Determine a matriz jacobiana .
3. Mostre que é injetora
4. Calcule a integral dada usando a fórmula de mudança de variáveis