Seja . Mostre que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a:
Sugestão: Use coordenadas polares. Justifique.
Passo 1
Vamos primeiro entender como calcular esse volume. Lembra que o volume que fica embaixo dessa função até o plano vai ser
Onde é aquela região da função onde Vamos descobrir que região é essa
Isso é uma circunferência de centro na origem e raio
Como temos uma circunferência na região vamos usar coordenadas polares.
Passo 2
Faremos então
Passo 3
Falta fazermos o intervalo de integração, como temos um circulo de raio vamos ter
Passo 4
Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a :
Passo 6
-
Integrando, agora, em relação a , temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)