G1 de Cálculo 3 - MAT1163 da PUCRIO - 2014.2

Sejam transformações lineares com a seguinte propriedade:

Nos vetores da base canônica , e tem-se que

em que e são números reais.

a) Diga se , justificando.

b) Determine a matriz jacobiana de e calcule .

c) Encontre a equação da melhor aproximação linear que aproxima da vizinhança de .

Seja a região plana no primeiro quadrante compreendida pelo gráfico das funções , , e .

1. Usando a mudança de variáveis e , determine a transformação e calcule a matriz jacobiana de .
2. Determine a região do plano cuja imagem pela transformação é .
3. Use a fórmula de mudança de variávies para provar que

Onde é uma função tal que

1. Seja uma função diferenciável. Calcule a matriz jacobiana da função

no ponto .

2. Sejam funções diferenciáveis tais que para todo . Sabendo que e , calcule e

Considere o sólido

1. Faça um esboço de .
2. Calcule o volume de .