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G2 de Cálculo 3 - MAT1163 da PUCRIO - 2016.1

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Cálculo 3 - MAT1163 - PUCRIO

Considere o campo plano

F x ,   y = - y x 2 + y 2 + y , x x 2 + y 2 + e y 2 ,     x ,   y ≠ 0 ,   0 .

e os caminhos:

C =   quadrado de vértices 2 ,   0 ,   0 ,   2 ,   - 2 ,   0 e 0 ,   - 2 com orientação anti-horária;

D =   circunferência unitária com orientação horaria.

Calcule

∫ C   F d r + ∫ D   F d r

Sugestão: use o Teorema de Green (generalizado).

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Seja a curva parametrizada:

α t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   1 + cos 2 ⁡ t ,   t ∈ - 3 π 4 ,   0 .

  1. Calcule equações implícitas para α .
  2. Faça um esboço da imagem de α .
  3. Calcule as equações implícitas da reta tangente a α em - π 2 .
  4. Calcule a integral de linha

∫ α   16 x 3 y - y 3 x d s

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Considere os seguintes campos:

F x ,   y = 2 x y e y x 2 + cos ⁡ y ,   x 2 e y x 2 - x sin ⁡ y + 1 ,     x ,   y ∈ R 2 ,

G x ,   y ,   z =   x e x y z ,   z e x y z ,   y e x y z ,     x ,   y ,   z ∈ R 3 .

  1. Justifique, sem calcular potenciais, se os campos F e G são conservativos ou não.
  2. Caso F seja conservativo, calcule seus potenciais.
  3. Seja

H x ,   y = 2 x y e y x 2 + π + cos ⁡ y ,   x 2 e y x 2 - x sin ⁡ y + 1 ,                     x ,   y ∈ R 2

um campo de forças plano. Calcule o trabalho realizado por uma partícula que se desloca sobre o arco (positivamente orientado) de elipse x 2 9 + y 2 = 1 , saindo de 3 ,   0 e chegando em 0 ,   1 .

Sugestão: Relacione os campos H e F e use o item b .

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Listas de Exercícios Resolvidos

G3 - 2012.1G3 - 2014.2G1 - 2017.1G2 - 2018.1G1 - 2018.1G2 - 2018.2G3 - 2018.1G4 - 2014.1G2 - 2019.1G1 - 2020.2 (Parte 1)