G3 de Cálculo 3 - MAT1163 da PUCRIO - 2017.2

Questão 1: Considere a superfície parametrizada , cuja imagem denotaremos por .

a) Calcule uma equação implícita para .

b) Faça um esboço de .

c) é uma superfície parametrizada regular ou não? Justifique a resposta.

d) Calcule a equação implícita do plano tangente a no ponto .

e) Calcule a integral de superfície .

Questão 2:

Seja a superfície (regular por partes) constituída pela união dos três triângulos contidos nos planos coordenados e de vértices , , , . O bordo de é uma curva (regular por partes) fechada que consideraremos orientada de modo que sua projeção no plano é percorrida no sentido anti-horário. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças espacial

sobre uma partícula cuja trajetória é .

Questão 3:

Seja a superfície regular por partes. , onde é o pedaço do cilindro de equação implícita acima do plano e abaixo do plano , e é o pedaço do cilindro de equação implícita abaixo do plano e com . Consideremos a orientação de tal que o campo de vetores normal unitário aponta para fora dos cilindros.

Seja o campo espacial

1. Faça um esboço de (Dica: esboce o eixo apontado para a direita).
2. Calcule o fluxo de através de (Dica: Feche com duas tampas e aplique o teorema de Gauss).