P2 de Cálculo 3 da UFRJ - 2018.2

Questão 1: Considere a parte do paraboloide hiperbólico onde .

1. Determine uma parametrização da superfície , especificando o domínio de definição.
2. Usando a parametrização, calcule a integral de superfície da função escalar

Questão 2) Considere o campo vetorial

Mostre que

Com uma curva fechada dada pela interseção do cilindro com um gráfico de uma função positiva e diferenciável sobre o plano .

(Dica: Use Stokes duas vezes com superfícies apropriadas.)

Questão 3: Considere o campo vetorial no sólido limitado por e .

1. Parametrize as duas partes das superfícies que delimitam este sólido.
2. Usando as parametrizações do item anterior, calcule o fluxo de através (isto é, calcule sem usar o Teorema de Gauss).
3. Calcule o divergente do campo e use o Teorema de Gauss para verificar o resultado do item anterior (isto é, calcule novamente o fluxo usando o Teorema de Gauss).