PF de Cálculo 3 da UFRJ - 2017.1

Considere o campo vetorial no plano dado por

Calcule a integral de linha , onde é a parte da elipse contida no primeiro quadrante, com ponto inicial e ponto final .

Considere a parte do cilindro que fica na intersecção das regiões , e .

1. Determine uma parametrização de , especificando o domínio de definição da parametrização.
2. Calcule a integral de superfície .

Calcule a integral de superfície , onde e é a parte da esfera , cujo contorno está definido como intercessão da esfera com dois planos horizontais paralelos e dois planos verticais concorrentes, que passam pelo eixo , conforme à figura abaixo. A distância entre os planos horizontais é , o ângulo entre os planos verticais é , pertence ao primeiro octante, e o vetor normal aponta fora da esfera.

Seja onde é o sólido entre os cones e e as esferas e .

• Descreva o sólido em coordenadas esféricas .
• Calcule .