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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Questão 1: Considere a parte ∑   do paraboloide hiperbólico 4 x 2 + 4 y - 4 z 2 = 1 onde x 2 - y + 3 z 2 ≤ 0 .

  1. Determine uma parametrização da superfície ∑   , especificando o domínio de definição.
  2. Usando a parametrização, calcule a integral de superfície da função escalar

∬ ∑   2 x 2 + y   d S

Passo 1

i )

Bem, normalmente a gente sugere pra você desenhar a superfície para ter uma noção geométrica do problema. Porém, nesse caso, desenhar só vai atrasar a nossa vida !

Entretanto, eu quero que você perceba que a superfície possui uma equação bem interessante:

4 x 2 + 4 y - 4 z 2 = 1

Se a gente isolar o y em função de x e z , a gente pode encontrar qualquer ponto da superfície com x ,   y ,   z apenas com esses dois parâmetros. Então essa será a nossa parametrização explícita :

4 x 2 + 4 y - 4 z 2 = 1           →             4 y = 1 - 4 x 2 + 4 z 2       →

y = 1 4 - x 2 + z 2

Então a nossa equação paramétrica é...

σ x ,   z = x ,   1 4 - x 2 + z 2 ,   z

Passo 2

CALMA Jovem! Ainda não terminamos o nosso problema, afinal temos que determinar o domínio de definição da superfície .

Ora! Sabemos que o paraboloide está limitado pela inequação x 2 - y + 3 z 2 ≤ 0 . Substituindo o y :

x 2 - y + 3 z 2 ≤ 0           →

x 2 - 1 4 - x 2 + z 2 + 3 z 2 ≤ 0             →

x 2 - 1 4 + x 2 - z 2 + 3 z 2 ≤ 0             →

2 x 2 + 2 z 2 ≤ 1 4             →

Dividindo por 2 ...

x 2 + z 2 ≤ 1 8

Essa região é um círculo de raio r = 1 8 é delimita os parâmetros da nossa região:

Passo 3

i i )

Finalmente vamos resolver a integral:

∬ ∑   2 x 2 + y   d S

Normalmente, para resolver isso, seguimos um passo a passo bem legal:

  1. Primeiro devemos parametrizar ∑ .
  2. Segundo, calcular o termo d S .
  3. Por último, devemos substituir os termos da função.

Passo 4

Por sorte, a parametrização já está concluída, neh?

σ x ,   z = x ,   1 4 - x 2 + z 2 ,   z

Onde a região de variação de x e z é o círculo...

x 2 + z 2 ≤ 1 8

Passo 5

Agora chegou momento de calcular o termo d S utilizando a fórmula láaaa da definição:

d S = N → d x d z

Onde

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ z

Ou seja...

∂ σ ∂ x = ∂ ∂ x x ,   1 4 - x 2 + z 2 ,   z =

1 ,   - 2 x ,   0

Enquanto isso:

∂ σ ∂ z = ∂ ∂ z x ,   1 4 - x 2 + z 2 ,   z =

0 ,   2 z ,   1

Jogando esses dois vetores na formulação de produto vetorial:

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ z = i → j → k → 1 - 2 x 0 0 2 z 1 =

- 2 x i → + 2 z k → - j → =

- 2 x ,   - 1 ,   2 z

O módulo desse cara é:

N → = - 2 x 2 + - 1 2 + 2 z 2 =

4 x 2 + 1 + 4 z 2

Então:

d S = N → d x d z     →

d S = 4 x 2 + 4 z 2 + 1   d x d z

Passo 6

Por último, antes de retornar a integral, devemos substituir os termos da parametrização na função de integração:

2 x 2 + y = 2 x 2 +   1 4 - x 2 + z 2 =

x 2 + z 2 + 1 4

Passo 7

∬ ∑     2 x 2 + y   d S = ∬ R   x 2 + z 2 + 1 4 ⋅ 4 x 2 + 4 z 2 + 1   d x d z =

Colocando esse 4 em evidência...

∬ R   x 2 + z 2 + 1 4 ⋅ 4 x 2 + z 2 + 1 4   d x d z =

2 ∬ R   x 2 + z 2 + 1 4 ⋅ x 2 + z 2 + 1 4   d x d z =

2 ∬ R   x 2 + z 2 + 1 4   d x d z = 2 ∬ R   x 2 + z 2   d x d z + 1 2 ∬ R   1   d x d z

Como a região R é circular e de raio 1 8 , a segunda integral já sai bem rapidamente, afinal a integral de 1 d A é a área do círculo:

1 2 ∬ R   1   d x d z = 1 2 π 1 8 2 =

1 2 π ⋅ 1 8 = π 16

Quanto à outra integral, vamos utilizar as coordenadas polares, mas no próximo passo !

Passo 8

2 ∬ R   x 2 + z 2   d x d z

Usando as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

z = r sin ⁡ θ

x 2 + z 2 = r 2

J = r

Onde r e θ variam na região R :

0 ≤ r ≤ 1 8

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo:

2 ∬ R   x 2 + z 2   d x d z = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 2 J   d r d θ =

2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 3   d r d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 8 r 3   d r d θ =

2 ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 8 d θ = 2 ∫ 0 2 π 1 8 4 4 d θ =

2 ⋅ 1 64 ⋅ 1 4 ∫ 0 2 π d θ = 2 π ⋅ 2 ⋅ 1 64 ⋅ 1 4 =

π 64

Passo 9

Concluímos que a integral de superfície vale...

∬ ∑     2 x 2 + y   d S = 2 ∬ R   x 2 + z 2   d x d z + 1 2 ∬ R   1   d x d z =

π 64 + π 16

Resposta

Letra A)

σ x ,   z = x ,   1 4 - x 2 + z 2 ,   z ;           x 2 + z 2 ≤ 1 8

Letra B)

∬ ∑     2 x 2 + y   d S = π 64 + π 16

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