Questão 3: Considere o campo vetorial no sólido limitado por e .

1. Parametrize as duas partes das superfícies que delimitam este sólido.
2. Usando as parametrizações do item anterior, calcule o fluxo de através (isto é, calcule sem usar o Teorema de Gauss).
3. Calcule o divergente do campo e use o Teorema de Gauss para verificar o resultado do item anterior (isto é, calcule novamente o fluxo usando o Teorema de Gauss).

Como o sólido é delimitado por duas superfícies que tem o explicitamente em função dos parâmetros, podemos fazer duas parametrizações explícitas:

No caso do paraboloide, qualquer ponto dele pode ser obtido dado um e um :

Onde :

No caso, os parâmetros e estão limitados pelo plano , então:

Um círculo de raio :

Agora, no caso do plano , também temos uma parametrização bem semelhante, pois podemos encontrar todos os pontos do plano assim:

Onde o e o também estão delimitados pelo círculo de raio , devido a intersecção com o paraboloide:

Item II)

O fluxo de um campo em uma superfície é dado por uma integral de superfície:

Como a superfície é formada pelo paraboloide e pelo plano :

Vamos, então, calcular cada uma dessas integrais de superfícies e resolver o nosso problema !

Começando com...

Primeiro devemos parametrizar a superfície do Paraboloide, que por sorte já está feito:

Segundo, devemos calcular o termo :

Onde , dado , é dado por:

Considerando o vetor Normal para baixo (saindo):

Terceiro, substituindo o campo :

Logo, substituindo tudo na integral de superfície:

Esse , é porque agora estamos integrando no domínio de :

ORA! Se estivermos trabalhando com uma região circular, é útil trabalhar com as coordenadas polares:

E os limites do raio e do ângulo dependem da região :

Agora vamos calcular

Novamente, primeiro a parametrização:

Segundo, o termo :

Onde , dado :

Considerando o vetor Normal para cima (saindo):

Terceiro, substituindo o campo :

Logo, substituindo tudo na integral de superfície:

Como a região é um círculo de raio ...

Concluímos então que o fluxo através da superfície é:

Item III)

Seguindo o enunciado, vamos calcular o divergente primeiro:

Então:

Então, pelo Teorema de Gauss:

Como o sólido é limitado e pela superfície fechada, o campo não tem nenhuma singularidade, e ainda considerando os vetores para fora de , podemos aplicar a igualdade de Gauss sem problemas !

Ora, para calcular essa integral tripla, precisamos descrever o sólido :

Podemos adotar para isso as coordenadas cilíndricas:

Para a variação de e , já comentamos anteriormente que eles variam na projeção do sólido no plano :

Portanto:

Enquanto o ...

Onde o paraboloide é enquanto que o plano é :

Então, substituindo tudo e não se esquecendo das coordenadas polares...

Integrando então...