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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Integrais de superfície – caso vetorial

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = x y , x 2 , ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) e S é a parte da superfície z + 1 2 = x 2 + y 2 para 0 ≤ z ≤ 3 orientada de modo que N → é tal que N → . k → < 0 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos pensar que superfície é essa do problema. Temos um cone que tem raio zero em z = - 1 , cortado pelos planos z = 0 e z = 3 .

Nossa superfície é, portanto, esse retalho de cone.

Passo 2

Agora vamos parametrizar essa superfíce em coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

O que nos dá

φ r , θ = ( r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , r - 1 )

Como 0 ≤ z ≤ 3 e z = r - 1 , temos

0 ≤ r - 1 ≤ 3

1 ≤ r ≤ 4

Como temos a volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Agora temos que calcular a normal ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ

Temos:

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , s e n   θ , 1

∂ φ ∂ θ = ( - r   s e n   θ , r cos ⁡ θ , 0 )

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ θ s e n   θ 1 - r   s e n   θ r cos ⁡ θ 0 = - r cos ⁡ θ , - r   s e n   θ , r cos 2 ⁡ θ + r   s e n 2 θ

= - r cos ⁡ θ , - r   s e n   θ , r

Bom, como o problema diz que a normal aponta para baixo N → . k → < 0 , e temos a coordenada z positiva nesse vetor, sabemos que o vetor que a gente quer é o oposto a esse:

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ r = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , - r

Passo 4

Agora, para calcular essa integral, vamos usar a seguinte fórmula:

∬ S   F → . n → d S = ∬ D   F → φ x , y ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y d x d y

Aplicando os valores que nós temos:

∬ S   F → ⋅ n → d S = ∬ D   F → φ r , θ . r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , - r d r d θ

Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:

F → x , y , z = x y , x 2 , ln ⁡ ( x 2 + y 2 )

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , r - 1

F → φ x , y = r 2 cos ⁡ θ s e n   θ , r 2 cos 2 ⁡ θ , ln ⁡ r 2

A integral fica então

= ∬ D   r 2 cos ⁡ θ s e n   θ , r 2 cos 2 ⁡ θ , ln ⁡ r 2 . r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , - r d r d θ =

= ∬ D   r 3 cos 2 ⁡ θ s e n   θ + r 3 cos 2 ⁡ θ s e n   θ - r ln ⁡ r 2 d r d θ =

= ∬ D   2 r 3 cos 2 ⁡ θ s e n   θ - r ln ⁡ r 2 d r d θ =

Trazendo os intervalos de r e θ :

= ∫ 0 2 π ∫ 1 4 2 r 3 cos 2 ⁡ θ s e n   θ - r ln ⁡ r 2 d r d θ =

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí

= ∫ 0 2 π r 4 2 cos 2 ⁡ θ s e n   θ 1 4 d θ - ∫ 0 2 π ∫ 1 4 r ln ⁡ r 2 d r d θ =

= ∫ 0 2 π 128 - 1 2 cos 2 ⁡ θ s e n   θ d θ - ∫ 0 2 π ∫ 1 4 r ln ⁡ r 2 d r d θ =

= ∫ 0 2 π 255 2 cos 2 ⁡ θ s e n   θ d θ - ∫ 0 2 π ∫ 1 4 r ln ⁡ r 2 d r d θ =

= - 255 6 cos 3 ⁡ θ 0 2 π - ∫ 0 2 π ∫ 1 4 r ln ⁡ r 2 d r d θ =

= - ∫ 0 2 π ∫ 1 4 r ln ⁡ r 2 d r d θ =

= - 2 π ∫ 1 4 r ln ⁡ r 2 d r =

Agora, vamos fazer integração por partes:

ln ⁡ r 2 = v           →           v ' = 2 r r 2 = 2 r

r = u '         →             u = r 2 2

- 2 π ∫ 1 4 r ln ⁡ r 2 d r = - 2 π r 2 2 ln ⁡ r 2 1 4 - ∫ 1 4 r 2 2 × 2 r d r

= - 2 π 8 ln ⁡ 16 - ∫ 1 4 r d r =

= - 2 π 8 ln ⁡ 16 - r 2 2 1 4 = = - 2 π 8 ln ⁡ 16 - 8 ∓ 1 2 =

= - 2 π 8 ln ⁡ 16 - 1 5 2 =

= π 15 - 16 ln ⁡ 16 =

Resposta

π 15 - 16 ln ⁡ 16

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