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P3 de Cálculo 3 da USP - 2012

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Cálculo 3 - USP

Calcule a massa da superfície x 2 + y 2 - z 2 = 1 limitada pelos planos z = 2 e z = 4 , onde a densidade de massa é δ x , y , z = z .

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Calcule

∬ S   x z   d y ∧ d z + z y 2 d z ∧ d x + y 2 2 d x ∧ d y

Onde

S = { x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   x 2 + y 2 ≤ 2 x ,   z ≥ 0

Orientada pela normal N → com N → . k → > 0 .

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Calcule o trabalho realizado pelo campo F → ao longo de γ , onde

F → x , y , z = - y x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 ,   x ( x 2 + y 2 + 1 ) x 2 + y 2 , z - 1 cos 7 ⁡ z

E γ é a curva dada pela interseção de 4 x 2 + y 2 = 4 com z = y + 3 , orientada de forma que a projeção no plano x y é percorrida no sentido anti-horário.

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Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 3 e S é parte da superfície x 2 + y 2 = z + 1 2 entre z = 0 e z = 2 , orientada de modo que N → . k → > 0 .

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