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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Integrais de superfície – caso escalar

Calcule a massa da superfície x 2 + y 2 - z 2 = 1 limitada pelos planos z = 2 e z = 4 , onde a densidade de massa é δ x , y , z = z .

Passo 1

Para acharmos a massa, temos que fazer a integral de superfície da densidade, ou seja, vai ser uma parada assim

M = ∬ S δ x , y , z d S

Como temos que calcular uma integral de superfície, então, precisamos encontrar uma parametrização para S . Temos a superfície

x 2 + y 2 - z 2 = 1

Limitada por z = 2 e z = 4 . Isso é um paraboloide (cortado), que fica muito bem escrito em coordenadas cilíndricas, por causa da simetria em relação ao eixo z . Podemos pensar também na quantidade de termos quadráticos na equação do paraboloide, que logo nos faz pensar em coordenadas cilíndricas. Beleza, então, vamos fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Isso nos dá

r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 - z 2 = 1

z 2 = r 2 - 1

z = r 2 - 1

Então teremos

σ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , r 2 - 1  

Como temos uma volta completa em torno do eixo z , temos 0 ≤ θ ≤ 2 π , e, como o enunciado nos diz, temos 2 ≤ z ≤ 4 . Isso significa, para a variável r :

2 ≤ r 2 - 1 ≤ 4

4 ≤ r 2 - 1 ≤ 16

5 ≤ r 2 ≤ 17

5 ≤ r ≤ 17

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Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N r , θ = ∂ σ ∂ r × ∂ σ ∂ θ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ σ ∂ r = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , r r 2 - 1

∂ σ ∂ θ = -   r   s e n   θ ,   r cos ⁡ θ ,   0

O vetor normal vai ser

N r , θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ r r 2 - 1 -   r   s e n   θ r cos ⁡ θ 0

N r , θ = - r 2 cos ⁡ θ r 2 - 1 ,   - r 2 sen ⁡ θ r 2 - 1 ,   r

Passo 3

A norma vai ficar

N r , θ = - r 2 cos ⁡ θ r 2 - 1 2 + - r 2 sen ⁡ θ r 2 - 1 2 + r 2

N r , θ = r 4 r 2 - 1 + r 2

N r , θ = r r 2 r 2 - 1 + 1

N r , θ = r 2 r 2 - 1 r 2 - 1

Passo 4

A integral vai ficar

M = ∬ S δ x , y , z d S = ∬ D δ σ r , θ N r , θ d r d θ

Onde D = 5 ≤ r ≤ 17 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π , como já vimos na parametrização da superfície. Lembrando que

δ x , y , z = z

E que, pela nossa parametrização,

z = r 2 - 1

Vamos ter

M = ∫ 0 2 π ∫ 5 17 r 2 - 1   r 2 r 2 - 1 r 2 - 1 d r d θ

M = ∫ 0 2 π ∫ 5 17 r 2 r 2 - 1 d r d θ

Passo 5

Fazendo 2 r 2 - 1 = u

4 r   d r = d u

r = 5         →         u = 9

r = 17         →         u = 33

M = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 9 33 u d u d θ

M = 1 4 × 2 3 ∫ 0 2 π u 3 / 2   9 33 d θ

M = 1 6 ∫ 0 2 π 33 33 - 27 d θ

M = π 3 ( 33 33 - 27 )

M = π ( 11 33 - 9 )

Resposta

π ( 11 33 - 9 )

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