Resolva o problema do fluxo do calor com fonte de calor externo dado por
Dicas: A solução é dada por . Para achar , resolva o PVI
Já onde os são determinados pela expansão em série de Fourier dos senos de . Use que é se e é se . Use direto que .
Passo 1
Falaaa! Segura na minha mão e vamos começar! A gente vai usar um passo a passo bem parecido com a da equação de calor homogênea, só que com umas mudanças, tá?
Mas fica tranquilo, as mudanças o enunciado já deixou de dica para a gente.
Vamos fazer o que ele disse, e supor que nossa solução tem essa cara:
Podemos substituir isso na nossa EDP
A derivada dde em relação a zera, já que essa não é uma função de .
Nossa EDP fica
Mas repara que o enunciado disse para gente resolver o PVI, que diz que
E por que nos ajuda dizer isso? Vamos substuir na EDP
Olha só! A gente ficou com aquela EDP mais tranquila que a gente até sabe um pouco a cara da solução! Então, agora, a gente tem as equações
Passo 2
Vamos entender como as nossas informações
Ficam para a solução do tipo
Temos
Para essa soma zerar, precisamos que
Fazendo o mesmo para a outra informação
Com isso, precisamos resolver
Como o enunciado diz e achar . E precisamos resolver também
Que é uma equação de calor homogênea mais tranquilinha. A gente até sabe a cara da solução dela.
Passo 3
Vamos começar essa primeira equação
Se a gente pegar esse e integrar duas vezes, a gente chega em , né? Vamos fazer isso! Mas sem esquecer de colocar as constantes de integração, ein?
Como
A gente acha essas constantes pelas informações
Já que
Finalmente, a gente acha que
Passo 4
Vamos para essa segunda equação
Para ganhar tempo, a gente vai usar a dica que o enunciado deu, tá? Ele disse que a solução de tem essa cara
E de onde isso vem? Essa solução vem de resolver essa EDP
Fazendo aquela esquema de considerar que a solução tem a forma
Aí comparando essa equação mais geral e suas informações, com a nossa equação:
A gente pode dizer que
Aí nossa solução fica assim
Passo 5
Aí a gente lembra que nossa solução geral tem essa cara
Maaas, falta achar . Agora a gente usa aquela informação que ignoramos todo esse tempo haha. O enunciado disse que
Repara que ele fala isso sobre e não sobre . Por isso, substituímos isso no nosso , fazendo :
Temos, então, que encontrar coeficientes de forma que a soma dessa série seja igual à função da esquerda Reconhece isso de algum lugar? Isso é uma Série de Fourier de uma função ímpar.
Daí que a gente tira que os são determinados pela expansão em série de Fourier dos senos de , onde para gente .
Passo 6
Para isso, a gente precisa usar a fórmulinha, para achar para expansão em série dos senos de :
Sendo que para a gente
E a gente viu nos outros passos que
Aí precisamos calcular:
Passo 7
Vamos calcular essa belezura então!
Calculando cada termo desse:
- o enunciado disse para gente dizer logo que
Essa é a nossa integral do meio! Então
- A gente pode calcular
Usando integração por partes, já que temos um produto entre funções. Aí a gente usa a regrinha LIATE, e chama o polinômio de :
Aí a fórmulinha da integração por partes fica assim
Passo 8
Ele também disse que é se e é se . Nossa integral é
Percebe que nela temos e . Então essa integral vai zerar para todos os valores de . E vai ser em . Precisamos então separar os casos em e , para .
Para :
Passo 9
Aí finalmente nossa solução fica
A gente separa o caso em que , assim:
Já que . E como
Ufa! Conseguimos!