Resolva o problema do fluxo do calor com fonte de calor externo dado por

∂ u ∂ t x , t = ∂ 2 u ∂ x 2 x , t + x ,   0 < x < π ,   t > 0 u 0 , t = u π , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = s e n x ,     0 < x < π

Dicas: A solução é dada por u x , t = v x + W x , t . Para achar v , resolva o PVI

v ' ' x = - x ,   0 ≤ x ≤ π v 0 = 0 ,   v π = 0

W x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - β n π L 2 t s e n n π x L ,     onde os c n são determinados pela expansão em série de Fourier dos senos de f x - v x . Use que 2 π ∫ 0 π s e n m x s e n ( n x ) d x é 1 se m = n e é 0 se m ≠ n . Use direto que ∫ 0 π x 3   s e n ( n x ) d x = 1 n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n .

Passo 1

Falaaa! Segura na minha mão e vamos começar! A gente vai usar um passo a passo bem parecido com a da equação de calor homogênea, só que com umas mudanças, tá?

Mas fica tranquilo, as mudanças o enunciado já deixou de dica para a gente.

Vamos fazer o que ele disse, e supor que nossa solução tem essa cara:

u x , t = v x + W x , t

Podemos substituir isso na nossa EDP

∂ u ∂ t x , t = 0 + W t

A derivada dde v x em relação a t zera, já que essa não é uma função de t .

∂ 2 u ∂ x 2 x , t = v ' ' x + W x x

Nossa EDP fica

∂ u ∂ t x , t = ∂ 2 u ∂ x 2 x , t + x

W t = v ' ' x + W x x + x

Mas repara que o enunciado disse para gente resolver o PVI, que diz que

v ' ' x = - x

E por que nos ajuda dizer isso? Vamos substuir na EDP

W t = - x + W x x + x ∴ W t = W x x

Olha só! A gente ficou com aquela EDP mais tranquila que a gente até sabe um pouco a cara da solução! Então, agora, a gente tem as equações

W t = W x x

v ' ' x = x

Passo 2

Vamos entender como as nossas informações

u 0 , t = u π , t = 0

Ficam para a solução do tipo

u x , t = W x , t + v ( x )

Temos

u 0 , t = W 0 , t + v 0 = 0

Para essa soma zerar, precisamos que

W 0 , t = 0 ,     v 0 = 0

Fazendo o mesmo para a outra informação

u π , t = W π , t + v π = 0

W π , t = 0 ,     v π = 0

Com isso, precisamos resolver

v ' ' x = - x v 0 = 0 ,   v π = 0

Como o enunciado diz e achar v x . E precisamos resolver também

W t x , t = W x x x , t W 0 , t = W π , t = 0

Que é uma equação de calor homogênea mais tranquilinha. A gente até sabe a cara da solução dela.

Passo 3

Vamos começar essa primeira equação

v ' ' x = - x v 0 = 0 ,   v π = 0

Se a gente pegar esse v ' ' x e integrar duas vezes, a gente chega em v x , né? Vamos fazer isso! Mas sem esquecer de colocar as constantes de integração, ein?

Como

v ' ' x = - x

v ' x = ∫ v ' ' x d x = ∫ - x d x = - x 2 2 + C 1

v x = ∫ v ' x d x = ∫ - x 2 2 + C 1 d x = - x 3 6 + C 1 x + C 2

A gente acha essas constantes pelas informações

v 0 = 0 ,   v π = 0

Já que

v x = - x 3 6 + C 1 x + C 2

v 0 = 0 ∴ v 0 = 0 + 0 + C 2 = 0 ∴ C 2 = 0

v π = 0 ∴ v π = - π 3 6 + C 1 π = 0 ∴ C 1 = π 2 6

Finalmente, a gente acha que

v x = - x 3 6 + π 2 6 x

Passo 4

Vamos para essa segunda equação

Para ganhar tempo, a gente vai usar a dica que o enunciado deu, tá? Ele disse que a solução de W x , t tem essa cara

W x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - β n π L 2 t s e n n π x L    

E de onde isso vem? Essa solução vem de resolver essa EDP

W t x , t = β W x x x , t W 0 , t = W L , t = 0

Fazendo aquela esquema de considerar que a solução tem a forma

W x , t = X x ⋅ T t

Aí comparando essa equação mais geral e suas informações, com a nossa equação:

W t x , t = W x x x , t W 0 , t = W π , t = 0

A gente pode dizer que

β = 1

L = π

Aí nossa solução fica assim

W x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - 1 n π π 2 t s e n n π x π = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 t s e n n x    

Passo 5

Aí a gente lembra que nossa solução geral tem essa cara

u x , t = W x , t + v x

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 t s e n n x   + v x

Maaas, falta achar c n . Agora a gente usa aquela informação que ignoramos todo esse tempo haha. O enunciado disse que

u x , 0 = s e n x

Repara que ele fala isso sobre u x , t e não sobre W x , t . Por isso, substituímos isso no nosso u x , t , fazendo t = 0 :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 0 s e n n x   + v x = s e n x

∑ n = 1 ∞ c n s e n n x   + v x = s e n x

s e n x - v x = ∑ n = 1 ∞ c n s e n n x  

Temos, então, que encontrar coeficientes c n de forma que a soma dessa série seja igual à função da esquerda . Reconhece isso de algum lugar? Isso é uma Série de Fourier de uma função ímpar.

Daí que a gente tira que os c n são determinados pela expansão em série de Fourier dos senos de f x - v x , onde para gente f x = s e n x .

Passo 6

Para isso, a gente precisa usar a fórmulinha, para achar c n para expansão em série dos senos de F x :

c n = 2 L ∫ 0 L F x sen n π x L d x

Sendo que para a gente

F x = f x - v x

E a gente viu nos outros passos que

L = π

f x = s e n   ( x )

v x = - x 3 6 + π 2 6 x

F x = s e n x + x 3 6 - π 2 6 x

Aí precisamos calcular:

c n = 2 π ∫ 0 π s e n x + x 3 6 - π 2 6 x sen n x d x

Passo 7

Vamos calcular essa belezura então!

c n = 2 π ∫ 0 π s e n x + x 3 6 - π 2 6 x sen n x d x

c n = 2 π ∫ 0 π s e n x sen n x d x + 2 π ⋅ 1 6 ∫ 0 π x 3 sen n x d x - 2 π ⋅ π 2 6 ∫ 0 π x sen n x d x

Calculando cada termo desse:

- o enunciado disse para gente dizer logo que

∫ 0 π x 3   s e n ( n x ) d x = 1 n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n

Essa é a nossa integral do meio! Então

2 π ⋅ 1 6 ∫ 0 π x 3 sen n x d x = 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n

- A gente pode calcular

∫ 0 π x sen n x d x

Usando integração por partes, já que temos um produto entre funções. Aí a gente usa a regrinha LIATE, e chama o polinômio de u :

u = x ,     d u d x = 1 ∴ d u = d x

d v = s e n n x ∴ v = ∫ s e n n x d x = - cos ⁡ n x n

Aí a fórmulinha da integração por partes fica assim

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 π x sen n x d x = - x cos ⁡ n x n 0 π + ∫ 0 π cos ⁡ n x n d x = - π cos ⁡ n π n + 0 = - π - 1 n n

c n = 2 π ∫ 0 π s e n x sen n x d x + 2 π ⋅ 1 6 ∫ 0 π x 3 sen n x d x - 2 π ⋅ π 2 6 ∫ 0 π x sen n x d x

c n = 2 π ∫ 0 π s e n x sen n x d x + 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n + π 2 - 1 n 3 n

Passo 8

Ele também disse que 2 π ∫ 0 π s e n m x s e n ( n x ) d x é 1 se m = n e é 0 se m ≠ n . Nossa integral é

2 π ∫ 0 π s e n x sen n x d x

Percebe que nela temos n = n e m = 1 . Então essa integral vai zerar para todos os valores de n > 1 . E vai ser 1 em n = 1 . Precisamos então separar os casos em c 1 e c n , para n > 1 .

c n = 2 π ∫ 0 π s e n x sen n x d x + 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n + π 2 - 1 n 3 n

c 1 = 2 π ∫ 0 π s e n x sen x d x + 1 3 π - 6 π + π 3 - π 2 3 = 1 + 1 3 π - 6 π + π 3 - π 2 3

c 1 = 1 - 2 + π 2 3 - π 2 3 = - 1

Para n > 1 :

c n = 2 π ∫ 0 π s e n x sen n x d x + 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n + π 2 - 1 n 3 n

c n = 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n + π 2 - 1 n 3 n

Passo 9

Aí finalmente nossa solução fica

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 t s e n n x   + v x

A gente separa o caso em que n = 1 , assim:

∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 t s e n n x   = c 1 e - t s e n x +   ∑ n = 2 ∞ c n e - n 2 t s e n n x = - e - t s e n x +   ∑ n = 2 ∞ c n e - n 2 t s e n n x

Já que c 1 = - 1 . E como

c n = 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n + π 2 - 1 n 3 n

v x = - x 3 6 + π 2 6 x

u x , t = - e - t s e n x +   ∑ n = 2 ∞ 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n + π 2 - 1 n 3 n e - n 2 t s e n n x - x 3 6 + π 2 6 x

Ufa! Conseguimos!

Resposta

u x , t = - e - t s e n x +   ∑ n = 2 ∞ 1 3 π n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n + π 2 - 1 n 3 n e - n 2 t s e n n x - x 3 6 + π 2 6 x

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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