A equação seguinte modela um problema do fluxo do calor

∂ u ∂ t x , t = β ∂ 2 u ∂ x 2 x , t ,   0 < x < L ,   t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < L

Use a separação de variáveis u x , t = X t T t para mostrar que a solução desse problema é

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - β π x L 2 t s e n n x π L

Dica: T ' t β T t = X ' ' x X x = - λ . Estude apenas o caso λ > 0 .

Passo 1

Falaaa! Respira fundo, tá? Esse é um problema de uma equação de calor homogêna. Tem um passo a passo para resolver. Só vem comigo!

Como o enunciado disse para a gente fazer, vamos considerar que nossa função u x , t que procuramos pode ser escrita como um produto entre as funções de variáveis diferentes:

u x , t = X x ⋅ T t

Essa função u precisa satisfazer a equação do calor:

∂ u ∂ t x , t = β ∂ 2 u ∂ x 2 x , t

Então a gente pode substituir ela ali. Calculando essas derivadas e substituindo na equação do calor:

∂ u ∂ t x , t = X x ⋅ T ' t

∂ 2 u ∂ x 2 x , t = X ' ' x ⋅ T t

X x ⋅ T ' t = β X ' ' x ⋅ T t

Vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

T ' t β T t = X ' ' x X x

Aí a gente iguala isso tudo a uma constante - λ e chega na dica que o enunciado deu

T ' t β T t = X ' ' x X x = - λ

Passo 2

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

T ' t β T t = - λ ,     X ' ' x X x = - λ

X ' ' + λ X = 0 T ' + β λ T = 0

Agora a gente consegue achar X t e T t , a partir dessas duas equações.

Precisamos entender agora como vão ficar as outras equações que ele deu. Repara nesses dados que o problema deu

u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0

Vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis u x , t = X x . T ( t ) :

u 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

Veja que se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x . 0 = 0 , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u L , t = 0         →           X L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X L = 0

A condição u x , 0 = f x nós vamos guardar para o final.

Passo 3

Beleza, nós transformamos tudo o que o problema deu em:

u x , t = X x ⋅ T ( t )

X ' ' + λ X = 0

T ' + β λ T = 0

X 0 = 0

X L = 0

u x , 0 = f x

E agora? Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver 2 condições de contorno!

X ' ' + λ X = 0

X 0 = 0

X L = 0

Temos duas condições para X ( x ) , uma em cada ponto, isso é um problema de valores de contorno. Esquece as outras equações por enquanto, temos que resolver isso aqui, encontrando a equação característica e analisando cada caso de .

Passo 4

Beleza, então temos essa EDO de segunda ordem

X ' ' + λ X = 0

Resolvendo pela equação característica

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Mas repara que ele disse para a gente só avaliar quando λ > 0 (isso porque os outros casos vão dá a solução trivial, e a gente não a quer). É para facilitar nossa vida, então vamos analisar só esse caso!

Nessa situação, nossa raiz r tem a parte real e complexa (porque ali temos a raiz de um número negativo), podemos escrever ela assim

r = 0 ± λ i

E aí, comparamos isso com

r = α ± β i

Achando α = 0 e β = λ , e montamos a cara da solução para esse caso

X x = e α x ⋅ c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sin ⁡ λ x

Aplicando as condições agora...

X 0 = 0         →             X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sin ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

E

X L = 0         →             X L = c 1 cos ⁡ λ L + c 2 sin ⁡ λ L = 0 →

X L = c 2 sin ⁡ λ L = 0

Considerando c 2 diferente de 0 , para não termos a solução trivial, vamos considerar que o seno é a parte que zera esse produto. E para a função seno zerar, o argumento dela precisa ser múltiplo de π ...

λ L = n π   → λ n = n π L 2 ,     n = 1,2 , 3 …

Esses são os autovalores, e as autofunções são:

X n x = sen λ x = sen n π x L

Passo 5

Agora falta resolver a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + β λ T = 0

Vamos aplicar a separação de variáveis

d T d t = - β λ T

d T T = - β λ d t

Integrando ambos os lados

ln ⁡ T = - β λ t

T t = e - β λ t

Substituindo λ :

T n t = e - β n π L 2 t  

Sabendo que u x , t = X x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

u n x , t = sen n π x L e - β n π L 2 t             n = 1,2 , 3 …

Calma, estamos quase lá.

Passo 6

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Sabemos também que múltiplos dessa solução ou combinações lineares de soluções desse tipo também satisfazem as EDO’s.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ C n sen n π x L e - β n π L 2 t      

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Repara que isso é exatamente aonde a gente queria chegar!

Obs: e a gente não usou a condição u x , 0 = f x , porque ela serve para achar a expressão de c n , mas o enunciado não pediu, então tá tranquilo!

Resposta

Prova nos passos

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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