A equação seguinte modela um problema do fluxo do calor
Use a separação de variáveis para mostrar que a solução desse problema é
Dica: . Estude apenas o caso .
Passo 1
Falaaa! Respira fundo, tá? Esse é um problema de uma equação de calor homogêna. Tem um passo a passo para resolver. Só vem comigo!
Como o enunciado disse para a gente fazer, vamos considerar que nossa função que procuramos pode ser escrita como um produto entre as funções de variáveis diferentes:
Essa função precisa satisfazer a equação do calor:
Então a gente pode substituir ela ali. Calculando essas derivadas e substituindo na equação do calor:
Vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Aí a gente iguala isso tudo a uma constante e chega na dica que o enunciado deu
Passo 2
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Agora a gente consegue achar e , a partir dessas duas equações.
Precisamos entender agora como vão ficar as outras equações que ele deu. Repara nesses dados que o problema deu
Vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis :
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
A condição nós vamos guardar para o final.
Passo 3
Beleza, nós transformamos tudo o que o problema deu em:
E agora? Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver 2 condições de contorno!
Temos duas condições para , uma em cada ponto, isso é um problema de valores de contorno. Esquece as outras equações por enquanto, temos que resolver isso aqui, encontrando a equação característica e analisando cada caso de .
Passo 4
Beleza, então temos essa EDO de segunda ordem
Resolvendo pela equação característica
Mas repara que ele disse para a gente só avaliar quando (isso porque os outros casos vão dá a solução trivial, e a gente não a quer). É para facilitar nossa vida, então vamos analisar só esse caso!
Nessa situação, nossa raiz tem a parte real e complexa (porque ali temos a raiz de um número negativo), podemos escrever ela assim
E aí, comparamos isso com
Achando e , e montamos a cara da solução para esse caso
Aplicando as condições agora...
E
Considerando diferente de , para não termos a solução trivial, vamos considerar que o seno é a parte que zera esse produto. E para a função seno zerar, o argumento dela precisa ser múltiplo de ...
Esses são os autovalores, e as autofunções são:
Passo 5
Agora falta resolver a seguinte EDO do 1º grau:
Vamos aplicar a separação de variáveis
Integrando ambos os lados
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Calma, estamos quase lá.
Passo 6
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Sabemos também que múltiplos dessa solução ou combinações lineares de soluções desse tipo também satisfazem as EDO’s.
Então, podemos escrever o seguinte:
Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Repara que isso é exatamente aonde a gente queria chegar!
Obs: e a gente não usou a condição , porque ela serve para achar a expressão de , mas o enunciado não pediu, então tá tranquilo!
Resposta
Prova nos passos