Resolva a equação da onda
Dicas: A solução geral do problema é
Os são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para . Os são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para , e os satisfazem . Também .
Passo 1
Falaaa! Segura na minha mão e vamos começar! A ideia aqui é usar essa solução que ele deu, e seguir as dicas dadas também para montar ela.
Vamos só identificar umas constantes antes de começar. A gente tem que é o comprimento da corda. Ele é basicamente o comprimento do intervalo de . Na definição a gente tem que
Então
A constante , é a raiz quadrada do valor multiplicado por . Não tem nada multiplicado por ele na EDP, né? Então
Agora, vamos partir!
Passo 2
Ele começa dizendo que os são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para . A série tem essa cara:
Mas lembra que :
Agora pensa comigo.
Para que o lado direito dessa igualdade seja igual ao esquerdo, a gente só precisa que em , onde a gente fica com ali no somatório, .
E para , quando a gente tem outros senos ali, que . Para sumir com esses senos diferentes.
Aí no final, esse somatório só vai representar , como a gente quer, beleza?
Daqui a gente tira então:
Passo 3
Depois ele diz para a gente que os satisfazem .
A gente já viu que , e na definição da função, a gente tem que:
Usando essas informações, essa dica fica:
Aí a gente vai fazer um raciocínio parecido com o do passo anterior.
Para os dois lados serem iguais, a gente precisa que na direita só apareça um e um .
A gente tem que o termo só pode aparecer quando , já que vamos substituir esse em . Então todo aquele termo do lado do seno, precisa dar . Podemos fazer
Agora para aparecer , precisamos olhar para . Dessa vez, aquele termo precisa ser igual a :
Como não queremos que apareça mais nenhum termo de seno, porque já encontramos os dois que a gente queria, todos podem zerar, então a gente diz que:
Passo 4
Vamos encontrar agora. Ele nos diz que são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para .
Teremos essa carinha, já substituindo :
Dessa vez não vai ter jeito, vamos precisar usar a fórmulinha com integrais para achar os coeficientes da expansão em série dos senos de :
Sendo que para a gente
E a gente viu nos outros passos que
Aí precisamos calcular:
Passo 5
E a gente precisa calcular .
A gente precisa calcular
Usando integração por partes, já que temos um produto entre funções. Aí a gente usa a regrinha LIATE, e chama o polinômio de :
Aí a fórmulinha da integração por partes fica assim
Aí:
Passo 6
Agora a gente substitui tudo que achou na solução geral que ele deu:
Como :
Vamos reescrever termo por termo. Acredita em mim, vai dar certo!
Passo 7
Vamos olhar para esse:
A gente viu que e para . Aí ele fica assim:
Olhando agora:
A gente viu que e para . Aí fica assim:
Passo 8
Por fim, mas não tão no fim assim haha, vamos olhar:
A gente viu que:
Só mudando de para (só substituir mesmo):
Aí a gente calcula
Vamos usar a substituição:
Os extremos de integração ficam:
Aí a integral fica:
Passo 9
Calculando cada termo
Para o termo a seguir a gente vai usar a dica do enunciado:
Aí aquele termo grandão fica:
Passo 10
Aí finalmente nossa solução fica
Ufa! Conseguimos!