P2 de Cálculo 4 da UFRJ - 2013.1

Seja

1. Estenda como função ímpar periódica de período para .
2. Faça o gráfico de estendida no intervalo .
3. Encontre a série de Fourier de . Justifique a convergência da série de Fourier.
4. Faça o gráfico da função para a qual a série de Fourier converge no intervalo .

Usando o método da separação de variáveis, encontre a solução da equação de Laplace no retângulo , que satisfaz as condições de contorno.

Onde é uma função com derivada contínua definida em .

Considere a condução de calor em uma barra de de comprimento com constante de difusividade térmica . Considere que a barra está apoiada sobre o eixo de modo a ocupar o intervalo . Suponha que a barra esteja termicamente isolada, inclusive nas extremidades, e que a temperatura inicial da barra seja dada pela função , . Encontre a temperatura que satisfaz as condições do problema, usando a expressão geral da solução do calor para uma barra isolada.

Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas no mesmo nível horizontal de modo que o eixo esteja ao longo da corda. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com velocidade inicial dada por

Considere a razão da tensão pela densidade de massa da corda como sendo constante igual a ().

1. Encontre o deslocamento vertical usando a expressão geral da solução da equação de onda partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial não nula.
2. Mostre que o deslocamento é uma função periódica de período na variável .