Considere a condução de calor em uma barra de de comprimento com constante de difusividade térmica . Considere que a barra está apoiada sobre o eixo de modo a ocupar o intervalo . Suponha que a barra esteja termicamente isolada, inclusive nas extremidades, e que a temperatura inicial da barra seja dada pela função , . Encontre a temperatura que satisfaz as condições do problema, usando a expressão geral da solução do calor para uma barra isolada.

Vamos fazer a separação de variáveis. Vamos supor que a função que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável por outra apenas da variável , dessa forma:

Como essa solução deve satisfazer à equação de calor, temos:

Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :

Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis :

Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:

Resolver o problema de contorno.

Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!

A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:

Agora vamos encontrar as soluções da EDO para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.

Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:

Isso nos dá

Aqui temos o mesmo raciocínio:

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos .

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno: e

Bom, as duas condições de contorno nos dão a mesma informação, não é? Temos, então que

Isso para o autovalor

Como escrevemos, por convenção, as autofunções sem a constante multiplicativa, temos o seguinte:

Essa é uma solução da nossa EDO, e qualquer combinação linear de também.

Caso 3 :. Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Substituindo

Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:

Isso nos dá

Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

Isso ocorre para valores múltiplos de , ou seja, quando:

A solução geral do caso 3 é, então do tipo:

Agora vamos resolver o problema em .

Tendo o valor de , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:

Substituindo :

Para o caso em que

Sabendo que , podemos escrever:

Lembre-se de que encontramos duas soluções para , por isso temos e .

Escrever como série e achar os coeficientes da série

Bom, encontramos fórmulas gerais que satisfazem nossa EDO. Temos que lembrar que combinações lineares dessas soluções também atendem ao problema. Então, podemos escrever o seguinte:

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é?

Muito cuidado aqui. As soluções ganharam um coeficiente e a solução recebeu um coeficiente , não podemos nos esquecer dela! Mas porque esse coeficiente, dessa forma? Porque vamos reconhecer essa solução como uma Série de Fourier de cossenos.

Beleza, agora temos que achar esses coeficientes de forma que a nossa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:

Veja que, substituindo na série, temos :

Fazendo uma extensão par da função , temos então o seguinte:

Para os outros coeficientes:

Aqui temos que usar essas relações trigonométricas:

O que nos dá:

Portanto, temos:

Agora vamos analisar, para ímpar,

E temos

Já para par, temos:

O que nos dá

Então nossa resposta é a seguinte:

Onde