P2 de Cálculo 4 da UFRJ - 2013.2

Supondo , determine todos os autovalores reais as respectivas autofunções do problema de valor de contorno abaixo.

Considerando e como sendo constantes positivas e como sendo uma função contínua no intervalo , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

Considere a função , .

1. Determine uma série de Fourier em senos para a função .
2. Esboce o gráfico da função para a qual a série de Fourier obtida no item (a) converge no intervalo . Justifique sua resposta.

Considere a condução de calor em uma barra homogênea de comprimento igual a m e coeficiente de difusividade térmica igual a , cuja superfície lateral está isolada e que só troca calor com o ambiente através de suas extremidades. Suponha ainda que esteja inicialmente a uma temperatura de C e que a temperatura dos extremos da barra seja mantida constante igual a C para todo . Determine a temperatura sabendo que tal problema é modelado por