P1 de Cálculo 4 da UFRJ - 2015.2

Estudar a convergência ou divergência de cada uma das séries a seguir. Em caso de convergência, classificar a mesma em condicional ou absoluta.

Estudar a convergência ou divergência de cada uma das séries a seguir. Em caso de convergência, classificar a mesma em condicional ou absoluta.

Considerar a série de potências

1. Determinar o raio de convergência e estudar o comportamento da série nos valores extremos do intervalo aberto de convergência absoluta.
2. Calcular a função que representa a série no intervalo aberto de convergência absoluta. Sugestão: Usar os resultados de derivação e integração termo a termo e lembrar que uma primitiva da função é dada por .

Seja e considerar a equação de Euler:

1. Determinar a solução geral de (2)
2. Determinar os valores de para os quais todas as suas respectivas soluções , encontradas em a), satisfazem a condição: .

Considere a equação de Chebyshev:

Onde é uma constante inteiro não-negativo.

1. Justificar que é um ponto ordinário de (1).
2. Determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução de (1), dada em série de potências em torno de .
3. Determinar a relação de recorrência que satisfazem os coeficientes da solução em série de potências citadas no item b.
4. Considerar e determinar as soluções de (1), em série de potências, que verificam a condição .

Estudar a convergência ou divergência de cada uma das séries a seguir. Em caso de convergência, classificar a mesma em condicional ou absoluta.

De forma mais geral, determinar para quais valores positivos de a série é convergente.