Equação da Onda
Considerando e como sendo constantes positivas e como sendo uma função contínua no intervalo , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.
Passo 1
Vamos começar, como sempre, pela separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 2
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em ´:
Bom, esse é o problema da questão 3, não é? Já vimos que a sua solução é a seguinte
Onde
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 3
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
Fazendo
Temos então:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 4
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfaz o problema, então vamos escrever:
Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de ’s.
Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: . Fazendo , temos:
Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Resposta
Onde