Problemas de Valores de Contorno
Supondo , determine todos os autovalores reais as respectivas autofunções do problema de valor de contorno abaixo.
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:
Como não sabemos o valore de , temos que analisar o problema para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.
Passo 2
Vamos analisar o caso em que , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Aqui temos o mesmo raciocínio:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Passo 3
Vamos ver agora o caso em que , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Bom, temos novamente apenas a solução trivial, não é? Vamos para o próximo caso agora!
Passo 4
Por último, temos o caso em que . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade aí em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.
Isso ocorre quando:
Substituindo, temos a seguinte solução
Como esse é o único caso que não nos traz solução trivial, essa é a resposta da nossa questão.
Resposta
Onde