PF de Probest da UFRJ - 2017.1

Considere um reino encantado bem, bem distante. Há uma chance de 50% de que uma rainha carregue o gene da magia. Se ela for portadora do gene, então cada príncipe terá, um independentemente do outro, 50% de chance de ter poderes mágicos. Se a rainha não for portadora desses poderes, os príncipes não herdarão o dom da magia. A rainha teve três filhos.

a) Se a rainha for portadora do gene da magia, qual a probabilidade de pelo menos um de seus três filhos possuir o gene da magia?

b) Supondo que todos os filhos da rainha não têm poderes mágicos, qual a probabilidade de que ela seja portadora do gene da magia?

Admita que o intervalo de tempo T entre duas chegadas sucessivas de mensagens de Whatsapp ao celular de determinada pessoa segue uma distribuição Exponencial, e que a probabilidade de que esse intervalo de tempo seja maior que 20 minutos é igual a 0,135.

a) Em média, quanto tempo após a chegada de uma mensagem deve chegar a próxima mensagem?

b) Qual a probabilidade de que T seja no máximo 40 minutos, dado que T é no mínimo 25 minutos?

c) Qual o desvio padrão do número de mensagens que a pessoa recebe em meia hora?

d) Qual a probabilidade de que, ao longo de 1 hora, ela receba pelo menos 4 mensagens?

Sejam T1 e T2 dois estimadores não tendenciosos do parâmetro θ tais que

Considere o estimador de θ definido por

a) Para que valores de α, T é um estimador não tendencioso de θ?

b) Expresse a variância de T em função de α.

c) Para que valor de α, a variância de T é mínima?