PF-2017/1UFRJ Questão 2
Admita que o intervalo de tempo T entre duas chegadas sucessivas de mensagens de Whatsapp ao celular de determinada pessoa segue uma distribuição Exponencial, e que a probabilidade de que esse intervalo de tempo seja maior que 20 minutos é igual a 0,135.
a) Em média, quanto tempo após a chegada de uma mensagem deve chegar a próxima mensagem?
b) Qual a probabilidade de que T seja no máximo 40 minutos, dado que T é no mínimo 25 minutos?
c) Qual o desvio padrão do número de mensagens que a pessoa recebe em meia hora?
d) Qual a probabilidade de que, ao longo de 1 hora, ela receba pelo menos 4 mensagens?
Passo 1
Bom, lendo o enunciado dessa questão, a primeira coisa que ele fala pra gente é pra considerarmos uma v.a. que é dada por:
E além disso, ele já fala pra gente qual modelo de distribuição nossa v.a. segue: Exponencial!
Não sabemos qual o valor do parâmetro , certo? Mas podemos descobrir! A questão fala pra gente que a probabilidade de que o intervalo de tempo seja maior que 20 minutos é 0,135. Com isso, temos o seguinte:
Mas sabemos que:
E é uma FDA, certo? Lembrando a fórmula da FDA da Exponencial:
Então teríamos que:
Agora podemos igualar isso aí ao valor que foi dado no enunciado:
Passo 2
a)Em média, quanto tempo após a chegada de uma mensagem deve chegar a próxima mensagem?
Ele falou média, você já pensa logo em esperança! Vamos então calcular:
Passo 3
b) Qual a probabilidade de que T seja no máximo 40 minutos, dado que T é no mínimo 25 minutos?
Cara, ele pede pra gente calcular a seguinte probabilidade:
Vamos usar a propriedade da perda de memória da exponencial pra calcular o complementar disso aí.
Isso aí você sabe calcular, né? Vamos usar a função de prob. da exponencial!
Agora vamos calcular o que queríamos! Como calculamos o complementar, basta fazermos o seguinte:
Passo 4
c) Qual o desvio padrão do número de mensagens que a pessoa recebe em meia hora?
Cara, ele fala sobre a chegada de mensagens em meia hora. Uma sequência de eventos que ocorre numa unidade de tempo... Poisson!
Isso mesmo, aqui usaremos a relação exponencial-poisson.
Vamos criar uma outrav.a. :
Sabemos, pela relação, que terá o seguinte parâmetro:
Logo,
E, para calcularmos o desvio padrão, basta fazer a raiz quadrada da variância.
Como estamos na distribuição de Poisson, temos que a variância é o próprio parâmetro:
Logo,
Passo 5
d)Qual a probabilidade de que, ao longo de 1 hora, ela receba pelo menos 4 mensagens?
Aqui continuamos com a mesma ideia: uma sequência de eventos, ou seja, chegada de mensagens, num intervalo de tempo, 1 hora(60 minutos).
Continuaremos utilizando a relação exponencial-poisson!
Vamos criar outra v.a.:
Aqui, teremos o seguinte parâmetro:
Logo, ficamos com o seguinte:
Passo 6
Ele quer a probabilidade de receber pelo menos4 mensagens. Ou seja:
Vamos resolver isso pelo complementar!
Calculando isso, ficamos com:
Resposta
a) 10 min
b) 0,777
c) 1,73
d) 0,849